Inaugural-Dissertation - CMM

Kapitel 4Automorphismen bei ”Unendlich”4.1 Automorphismengruppen mit der Struktur einerdirekten SummeIn dem Forschungsartikel [FF3] wurde von D. Fiebig und U.-R. Fiebig gezeigt, daß dieAutomorphismengruppe eines codierten Systems oft eine direkte Summe der von derShiftabbildung erzeugten, unendlichen zyklischen und einer weiteren abstrakten Gruppe ist.Für SFTs ist eine derartige Zerlegung bisher nicht bekannt.Wir definieren in diesem Abschnitt eine Klasse transitiver, lokalkompakter Markovshiftsüber einem abzählbar unendlichen Alphabet, deren Elemente sich als Kantenshifts aufspeziellen ”ausgedünnten” Graphen darstellen lassen. Die Struktur dieser Graphen erzwingt,daß alle Automorphismen die σ-Orbits zweiseitig-unendlicher, einfacher Wege insich abbilden und deshalb auf dem Komplement einer endlichen Kantenmenge wie Potenzender Shiftabbildung wirken.Dies ermöglicht es, die Automorphismengruppe dieser Markovshifts wie oben als direkteSumme zu schreiben. Die abstrakte Gruppe, die hierbei als zweiter Summand auftritt,muß vollständig nicht-abelsch (triviales Zentrum) sein. Sie umfaßt genau diejenigen Automorphismen,die nur auf dem σ-Orbit einer kompakten Menge wirken, der zudem keinenzweiseitig-unendlichen, einfachen Weg innerhalb der Graphendarstellung enthält.Anhand einfacher Beispiele sieht man, daß Automorphismen topologischer Markovshifts imallgemeinen nicht zwischen zweiseitig-unendlichen Wegen und zweiseitig-unendlichen, einfachenWegen einer Graphendarstellung unterscheiden.Wir illustrieren dieses Verhalten anhand des in Abbildung 4.1 dargestellten Graphen. Aufdem zugehörigen Kantenshift (X, σ) betrachten wir folgenden Automorphismus der Ordnung2:ϕ : X → X ∀ n ∈ N : a l l c 1 . . . c n e n ←→ a c 1 . . . c n+1 e n+1 d n+1ϕ scannt also jeden Punkt x ∈ X und vertauscht jedes Vorkommen der angegebenen Blöcke.Aufgrund der Stetigkeit bildet dann ϕ den Punkt x := . . . d 3 d 2 d 1 . a c 1 c 2 c 3 . . . ∈ X (Grenzwertder Folge ( x (n) := (a c 1 . . . c n e n d n . . . d 1 ) ∞) ), der einen zweiseitig-unendlichen, einfan∈N95