Inaugural-Dissertation - CMM

Kapitel 3Automorphismen mit(un-)beschränkter Kodierlänge3.1 Untergruppen kodierlängenbeschränkter AutomorphismenWie bereits mehrfach angedeutet, führt die fehlende Kompaktheit topologischer Markovshiftsüber abzählbar unendlichen Alphabeten dazu, daß es neben sliding-Block-Codes auchstetige, shiftkommutierende Abbildungen gibt, die a priori keine beschränkte Kodierlängehaben. Zunächst geben wir zwei einfache Beispiele für Automorphismen lokalkompakterMarkovshifts, die in einer Graphendarstellung unbeschränkte Kodierlänge haben und somitdem Satz von Curtis-Hedlund-Lyndon widersprechen. Bei transitiven, lokalkompakten Markovshiftsmit überabzählbarer Automorphismengruppe gibt es zu jeder Graphendarstellungüberabzählbar viele, nicht kodierlängenbeschränkte Automorphismen der Ordnung 2.Auch die für kompakte Subshifts wahre Aussage, daß das Inverse eines bijektiven sliding-Block-Codes selbst ein sliding-Block-Code ist, verliert seine Gültigkeit, was wir durchAngabe einer topologischen Konjugation und eines Automorphismus mit beschränkterKodierlänge zeigen, deren Umkehrung nicht kodierlängenbeschränkte Abbildungen sind.Zu jeder Darstellung eines nicht kompakten Markovshifts hat man entsprechend dieMenge der Automorphismen mit beschränkter bzw. unbeschränkter Kodierlänge bezüglichdieser Darstellung. Speziell läßt sich in Aut(σ) zu jeder Darstellung die Untergruppe derAutomorphismen definieren, die, zusammen mit ihren Inversen, sliding-Block-Codes sind.Diese ist im allgemeinen darstellungsabhängig. Konjugationsinvarianten erhält man dagegenaus den Mengen der Automorphismen, die zusammen mit ihren Inversen in jeder bzw. inirgendeiner (Graphen-)Darstellung beschränkte Kodierlänge haben. Die entsprechendenTeilmengen bilden in ihrer Gesamtheit eine durch Inklusion partiell geordnete, hierarchischeStruktur innerhalb von Aut(σ).Die Untergruppen kodierlängenbeschränkter Automorphismen zu zwei topologischenKonjugationen γ 1 , γ 2 : X → Y sind stets isomorph. Allerdings existieren zu jedem transitiven,lokalkompakten Markovshift Graphendarstellungen, für die diese Untergruppenunter gruppentheoretischer Konjugation mit Elementen aus Aut(σ) nicht abgeschlossen53