Inaugural-Dissertation - CMM

3.1 Untergruppen kodierlängenbeschränkter Automorphismen 55abc 1✲ c 2✲ c 3✲ c 4✲ c 5✲ c 6✲✻e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6✛ d 1✛❄ d 2✛ ❄d 3✛❄ d 4✛ ❄d 5✛❄ d 6❄✛✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻e ′ 1 e ′ 2 e ′ 3 e ′ 4 e ′ 5 e ′ 6❄ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲c ′ 1 c ′ 2 c ′ 3 c ′ 4 c ′ 5 c ′ 6. . .. . .. . .Abbildung 3.2: Graphendarstellung eines transitiven, lokalkompakten Markovshifts mit der Eigenschaft(FMDP).einen Automorphismus definiert, der für alle j ∈ N jeden Block der Form a ? ? ? p j mita ? ? ? q j sowie umgekehrt vertauscht und alle übrigen Blöcke, speziell b ? ? ? p j undb ? ? ? q j festläßt. Hierbei müssen die nicht genauer bezeichneten Mittelblöcke genaudie Minimallänge k j haben. Diese Blöcke dürfen auch Pfade p i bzw. q i anderer Doppelpfade[p i ; q i ] (i ≠ j) enthalten, die bei passendem Abstand zum Block a selbst ausgetauschtwerden. Da die Längen k j aufgrund der Lokalkompaktheit des Subshifts mit j ∈ N überjede Schranke wachsen, hat dieser involutorische Automorphismus genau wie in Beispiel 3.1unbeschränkte Kodierlänge.Beobachtung 3.2 Die Automorphismengruppe jeder Graphendarstellung eines transitiven,lokalkompakten Markovshifts ohne Eigenschaft (FMDP) enthält überabzählbar viele involutorischeAutomorphismen von unbeschränkter Kodierlänge.Beweis: Zu jeder 0/1-Folge definiert man einen Automorphismus wie oben, der dieBlöcke a ? ? ? p j und a ? ? ? q j genau dann vertauscht, wenn der j-te Eintragder Folge gleich 1 ist. Dies ergibt überabzählbar viele verschiedene Automorphismen mitunbeschränkter Kodierlänge.Auch bei transitiven, lokalkompakten Markovshifts mit der Eigenschaft (FMDP) kann manleicht Beispielautomorphismen angeben, die keine beschränkte Kodierlänge aufweisen:Beispiel 3.3 Sei (X, σ) der Kantenshift des in Abbildung 3.2 skizzierten lokal-endlichen,stark zusammenhängenden Graphen G. Dieser erfüllt die Eigenschaft (FMDP); eine entsprechende,alle Doppelpfade überdeckende, endliche Kantenmenge ist z.B. F := {a, b}. Erbesitzt zudem die aus Abschnitt 2.2 bekannte Eigenschaft (3) und damit auch ein ROM.Offensichtlich weist die Involution ϕ : X → X, die einen Punkt scannt und jeden Block