Inaugural-Dissertation - CMM

6 VorwortIn Abschnitt 2.2 studieren wir die 1-Punkt-Kompaktifizierung des Shiftraumes (Definition2.9). Man kennt bereits ein Kriterium ([FieD1], Lemma 4.1), wann dieses kompakt-metrischedynamische System expansiv und damit selbst ein Subshift ist. Wir zeigen die Redundanzeiner der drei in [FieD1] Lemma 4.1 gegebenen Bedingungen und verschärfen so die Expansivitäts-Charakterisierung(Lemma 2.12). Zudem identifizieren wir eine der beiden verbleibendenBedingungen mit der Eigenschaft (FMDP) (Beobachtung 2.10), woraus sich für jedenlokalkompakten Markovshift, dessen 1-Punkt-Kompaktifizierung ein Subshift ist, die Abzählbarkeitder Automorphismengruppe ergibt. Umgekehrt gibt es jedoch lokalkompakte Markovshiftsmit abzählbar unendlicher Automorphismengruppe, deren 1-Punkt-Kompaktifizierungnur expansiv auf den doppelt-transitiven Punkten ist. Satz 2.14 zeigt, daß dies genau dietopologisch-dynamische Beschreibung der Grapheneigenschaft (FMDP) ist. Tatsächlich impliziert(FMDP) sogar die fast-topologische Konjugiertheit der 1-Punkt-Kompaktifizierungzu einem synchronisierten System mittels einer 1-Block-Faktorabbildung (Satz 2.15).Der nächste Abschnitt befaßt sich mit der Untergruppenstruktur und den algebraischen Eigenschaftender Automorphismengruppe. Mithilfe von Markerautomorphismen ergibt sichhier zumindest eine ebenso vielfältige Struktur wie in der SFT-Theorie. Satz 2.16 liefert fürlokalkompakte Markovshifts mit (FMDP) die Existenz einer formalen Zetafunktion. Ein vonden SFTs bekanntes Argument zeigt dann, daß jede abzählbare Automorphismengruppe residualendlich sein muß und weder nichttriviale divisionsvollständige, noch unendliche einfacheGruppen enthalten kann. Zum einen ist die Automorphismengruppe jedes Markovshifts mitabzählbar unendlicher Zustandsmenge stets eine Untergruppe von S N , wodurch verschiedeneabstrakte Gruppen niemals einbettbar sind. Zum anderen treten im nicht lokalkompaktenSetting Automorphismengruppen auf, die S N selbst als Untergruppe enthalten (Satz 2.20).Damit sind alle abzählbaren Gruppen, alle abelschen Gruppen der Kardinalität 2 ℵ 0, endlicherzeugte Gruppen mit unlösbarem Wortproblem sowie freie Produkte von 2 ℵ 0dieser Gruppenrealisierbar. Satz 2.26 stellt eine Klasse lokalkompakter Markovshifts vor, die immerhinnoch eine Einbettung von S N,f ermöglichen und ebenfalls nicht residual endlich sind.Genau wie bei den SFTs scheint es sehr schwierig, die Automorphismengruppe vollständigcharakterisieren zu wollen. Allerdings kennt man nach dem Satz von J. Ryan ([Rya1], [Rya2])zumindest ihr Zentrum. Dieses besteht exakt aus den Potenzen der Shiftabbildung. Abschnitt2.4 überträgt dieses Resultat auf die Markovshifts mit abzählbar unendlichem Zustandsraumund zeigt so, daß die Automorphismengruppen auch hier hochgradig nicht-abelsch sind. Speziellerhält man die für SFTs von M. Boyle und W. Krieger ([BK1]) stammende Aussage, daßdie periodische-Orbit-Darstellung auf dem Quotienten Aut(σ)/ 〈σ〉 treu ist (Korollar 2.31).Kapitel 3 beschäftigt sich größtenteils mit dem Wechselspiel zwischen Automorphismen vonbeschränkter und denen unbeschränkter Kodierlänge. Beschränkte Kodierlänge bedeutethierbei nichts anderes als gleichmäßige Stetigkeit; eine Eigenschaft, die für stetige Abbildungenzwischen kompakten Subshifts automatisch erfüllt ist. Zunächst geben wir einigeBeispiele, die zeigen, daß man bei nicht kompakten Markovshifts sehr leicht Abbildungenkonstruieren kann, für die kein beschränktes Kodierfenster existiert und daß anders als beikompakten Subshifts das Inverse eines bijektiven sliding-Block-Codes, i.e. einer gleichmäßigstetigen, shiftkommutierenden Bijektion, nicht ebenfalls diese Eigenschaft haben muß. Anschließenddefinieren wir zu jeder Darstellung eines Markovshifts mit abzählbar unendlicherZustandsmenge die Untergruppe aller Automorphismen, die zusammen mit ihren Inversenbeschränkte Kodierlänge haben (Definition 3.5). Durch Schnittbildung bzw. Vereinigung