Inaugural-Dissertation - CMM

VorwortAm Anfang war keine Formel.Am Anfang war keine Gleichung.Am Anfang war kein Beweis.A. Beutelspacher 1In der vorliegenden Dissertation werden erstmals verschiedene Aspekte der Automorphismengruppentopologischer Markovshifts mit abzählbar unendlichem Zustandsraum untersucht.Die Motivation dieser Forschungsarbeit ergibt sich zum einen aus dem in den letzten Jahrenverstärkten, allgemeinen Interesse an diesen Systemen als mathematisches Objekt an sichund als Modell in der differenzierbaren und topologischen Dynamik, das durch eine steigendeAnzahl an Veröffentlichungen zum Ausdruck kommt. Zum anderen lassen die großen Erfolgeder Theorie der Automorphismen der eng verwandten Klasse der Shifts vom endlichenTyp (SFTs) bei der Einführung neuer Invarianten und den damit verbundenen Ansätzenzur Klassifikation dieser Systeme auf ähnlich fruchtbare Ergebnisse (Verallgemeinerung derbei SFTs gefundenen Invarianten, besseres Verständnis der Ähnlichkeiten und Unterschiedezwischen SFTs und Markovshifts) hoffen.Die Fragestellung stammt aus dem Bereich der symbolischen Dynamik, einem noch jungenTeilgebiet der Mathematik, das sich primär mit der Untersuchung diskreter dynamischerSysteme beschäftigt. Der Phasenraum wird als Menge von ein- bzw. zweiseitig-unendlichenSymbolfolgen über einem meist endlichen Alphabet dargestellt und trägt eine metrischtopologischeStruktur. Die Dynamik auf diesen Folgenräumen wird durch die Wirkung derShiftabbildung modelliert, die eine Folge von Symbolen um eine Koordinate nach linksschiebt. Man spricht daher auch von Shifträumen bzw. Subshifts.Am intensivsten wurden in der Vergangenheit die sogenannten Shifts vom endlichen Typuntersucht. Diese treten unter anderem in der topologischen und differenzierbaren Dynamik(Markovzerlegungen bei Homöo-/Diffeomorphismen), der Ergodentheorie (stationäreMarkovketten, statistische Mechanik), der Informationstheorie (Datenspeicherung, zelluläreAutomaten) sowie in der Codierungstheorie (Convolution-Codes) auf. Es handelt sich umeine elementare Klasse symbolisch-dynamischer Systeme, deren Symbolfolgen als zweiseitigunendlicheWege in einem endlichen, gerichteten Graphen aufgefaßt werden können.Diese konkrete Darstellung eröffnet die Möglichkeit, viele Fragen über SFTs auf Fragen überdie Adjazenzmatrizen des zugehörigen Graphen zu reduzieren, wodurch speziell kombinatorischeund algebraische Hilfsmittel herangezogen werden können. Daneben stehen starkeanalytisch-topologische Methoden aus dem Bereich der dynamischen Systeme zur Verfügung.Komplikationen treten häufig auf, da die Darstellung eines gegebenen SFTs, beispielsweisedurch einen gerichteten Graphen oder eine Markovpartition einer kompakten Mannigfaltigkeit,keineswegs eindeutig ist. Dies führt auf den Begriff der (topologischen) Konjugiertheit:Zwei SFTs oder allgemeiner zwei Subshifts werden als das gleiche mathematische Objektangesehen, wenn zwischen ihnen eine topologische Konjugation, i.e. ein Homöomorphismus1 Aus: ”In Mathe war ich immer schlecht . . . ”, Vieweg Verlag, S. 11 (2001)1