Inaugural-Dissertation - CMM

32 Kapitel 2: Die Automorphismengruppe nicht kompakter MarkovshiftsBeginnen wir mit der Definition der 1-Punkt-Kompaktifizierung:Definition 2.9 Zu jedem lokalkompakten Markovshift (X, σ) hat man die 1-Punkt-Kompaktifizierung (X 0 , σ 0 ). Hierbei ist X 0 := X ˙∪ {∞} die Alexandroff-Kompaktifizierungdes topologischen Raumes X und der Homöomorphismus 3 σ 0 : X 0 → X 0 ist die kanonischeFortsetzung der Shiftabbildung: σ 0 | X := σ und σ 0 (∞) := ∞.(X 0 , σ 0 ) ist offensichtlich ein kompakt-metrisches dynamisches System. Da mit X auch X 0 einnulldimensionaler Raum ist, liefert die Kompaktifizierung genau dann wieder einen Subshift,wenn der Homöomorphismus σ 0 expansiv ist 4 .Wie in [FieD1] (Lemma 4.1) bewiesen wurde, ist dies genau dann der Fall, wenn sich in demlokal-endlichen, stark zusammenhängenden Graphen G = (V, E), der den Subshift (X, σ) alsKantenshift darstellt, eine endliche Teilmenge F E von Kanten finden läßt, die folgendedrei Eigenschaften besitzt:(1) F ist die Kantenmenge eines ROMs, d.h. jeder zweiseitig-unendliche Weg in G enthälteine Kante aus F .(2) Für beliebige Kanten c, d ∈ E und beliebiges n ∈ N gibt es höchstens einen Pfadp := e 1 e 2 . . . e n , so daß i(e 1 ) = t(c), t(e n ) = i(d) und e i /∈ F für alle 1 ≤ i ≤ n.(3) Für jede Kante e 0 ∈ E existiert höchstens ein rechtsseitig-unendlicher Wegr := e 0 e 1 e 2 e 3 . . . mit e i /∈ F für alle i ≥ 1 sowie höchstens ein linksseitig-unendlicherWeg l := . . . e −3 e −2 e −1 e 0 mit e i /∈ F für alle i ≤ −1.Vergleichen wir zunächst Eigenschaft (2) und die in Abschnitt 2.1 gefundene Eigenschaft(FMDP), so ergibt sich folgende, einfacheBeobachtung 2.10 Für einen stark zusammenhängenden, lokal-endlichen Graphen sind dieEigenschaften (2) und (FMDP) äquivalent.Beweis: ”=⇒”: Angenommen in G = (V, E) gibt es unendlich viele, paarweise kantendisjunkteDoppelpfade [p i ; q i ] (i ∈ N). Um (2) zu erfüllen, müßte für jedes i mindestens eineKante aus p i bzw. q i in die Kantenmenge F E aufgenommen werden. Aus der Kantendisjunktheitder Doppelpfade folgt sofort ein Widerspruch zur Endlichkeit von F .”⇐=”: Zu einer nicht mehr vergrößerbaren, nach Voraussetzung endlichen Menge P vonpaarweise kantendisjunkten Doppelpfaden sei F := {e ∈ E | ∃ [p; q] ∈ P : e ∈ p ∨ e ∈ q} dieendliche Menge aller in diesen Pfaden auftretenden Kanten. Da P als nicht vergrößerbarangenommen wurde, weist jeder beliebige Doppelpfad [p; q] in G = (V, E) mindestens eineKante aus F auf. Für die Menge F ist dann Eigenschaft (2) bereits erfüllt.3 σ 0 ist im allgemeinen keine Shiftabbildung, sondern nur ein Homöomorphismus des Raumes X 0 in sich.4 Ein kompakt-metrisches dynamisches System (M, T ) ist genau dann (konjugiert zu) ein(em) Subshift,wenn M ein nulldimensionaler topologischer Raum und T ein expansiver Homöomorphismus auf M ist.