Inaugural-Dissertation - CMM

2.1 Die Kardinalität der Automorphismengruppe 29ϕ −1 ( 0[f]) =m f⋃i=1n f,i[b f,i ]so gilt, da ϕ mit der Shiftabbildung vertauscht:ϕ( nf,i +k[b f,i ]) ⊆ k [f] =m f⋃j=1mit b f,i ∈ B(X), n f,i ∈ Zϕ( nf,j +k[b f,j ]) für alle 1 ≤ i ≤ m f und alle k ∈ ZDie Kenntnis der Zylindermengen { n f,i[b f,i ] | 1 ≤ i ≤ m f}für alle f ∈ F ermöglicht es damit,das gesamte F -Skelett eines Bildpunktes zu bestimmen. Da mit x ∈ DT(X) auch der Bildpunktϕ(x) doppelt-transitiv ist, legt dies nach Voraussetzung die Einschränkung ϕ| DT(X)und somit ϕ selbst fest.Sei M{die Menge aller möglichen } Zuordnungen µ : F → {C C(X) | C endlich} mitf ↦→ n f,1[b f,1 ], . . . , nf,mf [b f,mf ] , wobei C(X) die abzählbare Menge aller dünnen Zylinderdes Shiftraumes X ist.Obiges Argument zeigt, daß eine Zuordnung µ ∈ M höchstens einen Automorphismusϕ ∈ Aut(σ) beschreibt. Die Menge der Automorphismen läßt sich also injektiv nach Mabbilden. Da mit der Menge {C C(X) | C endlich} auch die Menge M abzählbar ist,ergibt sich die Behauptung.Als direktes Korollar aus den Lemmata 2.3 und 2.6 läßt sich eine Aussage überdie topologische Struktur der Automorphismengruppe gewinnen. Dazu betrachten wirAut(σ) als Funktionenraum, ausgestattet mit der kompakt-offenen Topologie. Diesebesteht aus beliebigen Vereinigungen endlicher Durchschnitte der SubbasismengenS(C, U) := {ϕ ∈ Aut(σ) | ϕ(C) ⊆ U}, wobei C X kompakt und U ⊆ X offen ist.Korollar 2.7 Für einen lokalkompakten, transitiven Markovshift (X, σ) mit abzählbar unendlicherZustandsmenge ist die Gültigkeit der Eigenschaft (FMDP) äquivalent dazu, daßdie kompakt-offene Topologie auf Aut(σ) diskret ist.Beweis: ”=⇒”: Mit den Bezeichnungen aus Lemma 2.6 ist jeder Automorphismusϕ ∈ Aut(σ) eindeutig durch die endlichen Zylindermengen { }n f,i[b f,i ] | 1 ≤ i ≤ m f für allef ∈ F bestimmt. Es gilt also:⋂f∈F( m⋃ fSi=1)n f,i[b f,i ], 0 [f] = ⋂ {φ ∈ Aut(σ)f∈F( m f⋃∣ φi=1) }n f,i[b f,i ] ⊆ 0 [f] = {ϕ}Jedes Element der Automorphismengruppe läßt sich damit wie gefordert als endlicher Schnittvon Subbasismengen darstellen.”⇐=”: Hat der Markovshift X = X G dagegen unendlich viele, kantendisjunkte Doppelpfade,so ist bereits die in Lemma 2.3 gefundene, überabzählbare Teilmenge derAutomorphismengruppe nicht diskret bezüglich der kompakt-offenen Topologie. Jederbeliebige endliche Schnitt von Subbasismengen legt die Wirkungsweise eines solchenAutomorphismus höchstens auf endlich vielen Doppelpfaden fest. Will man dagegen