Inaugural-Dissertation - CMM

3gegeben wird, stückweise oder ganz aufgeben. Man erhält auf diese Weise die eigentlichen”Hauptakteure” dieser Dissertation, nämlich lokalkompakte und nicht lokalkompakte topologischeMarkovshifts mit abzählbar unendlichem Zustandsraum (für eine genauere Definitionsiehe Abschnitt 1.1).Praktische Anwendung finden diese Systeme unter anderem bei der Modellierung bestimmterdynamischer Systeme (Intervallabbildungen, nicht-hyperbolische Systeme, Billard-Flüsse)durch abzählbar unendliche Markovpartitionen [New], [Buz], [KT], [BSC] (sowie dortige Referenzen)und im Bereich der magnetischen Datenspeicherung [Pet].Daneben sind Markovshifts über einem abzählbar unendlichen Alphabet gewissermaßen eintopologisches Analogon der in der Wahrscheinlichkeitstheorie umfassend untersuchten (stationären)Markovketten mit abzählbar unendlichem Zustandsraum. B. Kitchens beschreibt inseinem Lehrbuch [Kit] ausführlich die maßtheoretischen Eigenschaften (Rekurrenz, Entropiebegriffe,Variationsprinzip, Existenz eines Maßes maximaler Entropie) dieser Systeme.Neuere Arbeiten von B. Gurevich und S. Savchenko [GS], O. Sarig [Sar] sowie D. Fiebig,U.-R. Fiebig und M. Yuri [FFY] übertragen zudem den thermodynamischen Formalismusund die Theorie der Gleichgewichtszustände in das nicht kompakte Setting.Lokalkompakte Markovshifts mit abzählbar unendlichem Zustandsraum treten bereits inder Theorie der kompakten Subshifts auf. So ist jede offene, shiftinvariante Teilmenge einestransitiven SFTs zusammen mit der eingeschränkten Shiftabbildung ein lokalkompakterMarkovshift; das gleiche gilt für alle Subsysteme des synchronisierten Teils eines synchronisiertenSystems [FieU]. Schließlich tauchen nicht kompakte Markovshifts auch bei derDarstellung codierter Systeme durch abzählbar unendliche, gerichtete Graphen auf, derenKanten zusätzliche Label tragen. Dabei ist der Shiftraum eines codierten Systems der shiftinvarianteAbschluß aller zweiseitig-unendlichen Verkettungen beliebiger Elemente aus einerListe endlicher Codewörter über einem endlichen Alphabet. Zu jedem codierten Systemexistiert ein stark zusammenhängender, abzählbar unendlicher, gerichteter Graph mit entsprechendenKantenlabeln, so daß der Shiftraum des codierten Systems genau der Abschlußaller zweiseitig-unendlichen Labelfolgen entlang von (zweiseitig-unendlichen) Wegen innerhalbdes Graphen ist.In einer kürzlich erschienenen Arbeit [FF4] von D. Fiebig und U.-R. Fiebig werden stetige,shiftkommutierende Abbildungen transitiver Markovshifts mit abzählbar unendlicherZustandsmenge in kompakte Subshifts studiert. Eines der Hauptresultate zeigt, daß der Abschlußdes Bildes stets ein codiertes System ist und daß sich auf diese Weise sogar jedescodierte System als surjektives Bild eines lokalkompakten Markovshifts realisieren läßt.Die Beziehung zwischen transitiven topologischen Markovshifts mit abzählbar unendlichemZustandsraum und codierten Systemen entspricht also fast der zwischen SFTs und sofischenSystemen, die ja auch durch endliche, gerichtete Graphen mit Kantenlabeln darstellbar sind.Im folgenden soll ein kurzer, keinesfalls vollständiger, Überblick über einige der bisherigenResultate zu Markovshifts mit abzählbar unendlicher Zustandsmenge gegeben werden. Abgesehenvon den oben erwähnten maßtheoretischen Untersuchungen (vgl. [Kit], [GS], [Sar] und[FFY]) und trotz des zunehmenden praktischen Interesses, steckt die Theorie der rein topologischenMarkovshifts mit abzählbar unendlichem Zustandsraum noch in ihren Anfängen.Natürlich lassen sich viele Fragestellungen direkt von den SFTs übernehmen; die Beweisebenutzen jedoch oft völlig andere Argumente und Hilfsmittel. Ein Beispiel hierfür ist eineVeröffentlichung von R. Gómez [Góm], in der die finitären Isomorphismen, i.e. maßerhaltende