Inaugural-Dissertation - CMM

86 Kapitel 3: Automorphismen mit (un-)beschränkter Kodierlänge( ∗)0 . Man erhält γ −1 ◦ ˜ϕ n ◦ γ ∈ Aut b γ(σ), wodurch die Existenz von Markerautomorphismenmit beschränkter Kodierlänge auf der Darstellung Y gezeigt ist.3.3 Die Kardinalität von Aut b X(σ)Wir wenden uns nun der Frage zu, wie viele Automorphismen beschränkter Kodierlängees zu einer gegebenen Graphendarstellung eines topologischen Markovshifts über einemabzählbar unendlichen Alphabet gibt. Aufgrund von Beobachtung 3.6 hängt diese Kardinalitäthöchstens von der gewählten Darstellung, nicht aber im Detail von der topologischenKonjugation in diese Darstellung ab. Es genügt daher Aut b X(σ) für beliebige Kantenshifts(X, σ) zu betrachten.Wie schon in Abschnitt 2.1 ergibt sich ein Unterschied zwischen lokalkompakten und nichtlokalkompakten Markovshifts: Letztere erlauben in jeder Graphendarstellung überabzählbarviele, kodierlängenbeschränkte (involutorische) Automorphismen. Bei lokalkompaktenMarkovshifts mit der Eigenschaft (FMDP) gibt es aufgrund der bisherigen Ergebnisse,ebenfalls unabhängig von der benutzten Darstellung, immer nur abzählbar unendlich vieleAutomorphismen beschränkter Kodierlänge.Für transitive, lokalkompakte Markovshifts ohne (FMDP) ist die Situation komplizierter:Zu jedem solchen Markovshift gibt es eine spezielle, durch State-Splittings erzeugbareGraphendarstellung, bezüglich der überabzählbar viele 1-Block-Automorphismen derOrdnung 2 existieren. Anhand eines Beispiels zeigen wir abschließend, daß eine allgemeineGraphendarstellung eines transitiven, lokalkompakten Markovshifts ohne (FMDP) dagegennur abzählbar viele kodierlängenbeschränkte Automorphismen zuläßt und somit die Kardinalitätvon Aut b X(σ) in diesem Fall echt darstellungsabhängig ist.Der volle Bernoulli-Shift auf abzählbar unendlich vielen Symbolen hat in der Graphendarstellungmit nur einem Vertex und unendlich vielen Kanten, die an diesem Vertex startenund enden, bereits überabzählbar viele 1-Block-Automorphismen (beliebige Permutationender Kantenmenge).Für eine Graphendarstellung eines allgemeinen, nicht lokalkompakten Markovshifts ist diesnicht zu erwarten (vgl. den in Abbildung 2.3 skizzierten Graphen). Man kann jedoch ein nurleicht abgeschwächtes, allgemeingültiges Resultat erzielen, indem man anstelle von 1-Block-Automorphismen involutorische sliding-Block-Codes größerer Kodierlänge betrachtet.Der Beweis des folgenden Satzes 3.26 basiert auf einer Modifikation einer bereits aus Abschnitt2.1 bekannten Idee. Er liefert ein alternatives Argument für die Aussage von Satz 2.1und verschärft diese noch, da hier sogar überabzählbar viele, gleichmäßig stetige Automorphismender Ordnung 2 konstruiert werden.Satz 3.26 Für jede beliebige Graphendarstellung (X, σ) eines transitiven, nicht lokalkompaktenMarkovshifts mit abzählbar unendlichem Zustandsraum ist die Untergruppe der kodierlängenbeschränktenAutomorphismen Aut b X(σ) überabzählbar. Speziell gibt es ab einerfesten Kodierlänge überabzählbar viele, involutorische sliding-Block-Automorphismen.