Inaugural-Dissertation - CMM

46 Kapitel 2: Die Automorphismengruppe nicht kompakter MarkovshiftsNun gilt für alle k ∈ N: i(˜b k ) = t(˜b k ) = i(b k+1 ) = t(b k+1 ) und |b k | = |˜b k | = (2M)! + N (wobeiN := |l i |).Zu jedem k ∈ N definiert man nun einen ( (2M)! + N − 1, (2M)! + N − 1 ) -sliding-Block-Codeφ (k,k+1) : X → X, der einen Punkt x ∈ X scannt und jeden Block ˜b k durch den Blockb k+1 sowie jeden Block b k+1 durch ˜b k ersetzt. Die Wohldefiniertheit folgt dabei aus der Wahlder nicht überlappenden Blöcke b k+1 bzw. ˜b k . Die Abbildungen φ (k,k+1) sind offensichtlichstetig, shiftkommutierend und involutorisch. Sie sind damit auch bijektiv ( und haben stetigeUmkehrabbildungen. Außerdem gilt nach Konstruktion: φ (k,k+1) (˜bk ) ∞) = (b k+1 ) ∞ sowie(φ (k,k+1) (bk+1 ) ∞) = (˜b k ) ∞ . Bezeichne Orb(x) den Orbit eines Punktes x ∈ X unter derShiftabbildung, so gilt:φ (k,k+1)(Orb((bk ) ∞)) = Orb ( (b k+1 ) ∞) und φ (k,k+1)(Orb((bk+1 ) ∞)) = Orb ( (b k ) ∞)Während φ (k,k+1)(Orb((bi ) ∞)) = Orb ( (b i ) ∞) für alle i ≠ k, k + 1 gilt.Die Familie der Automorphismen ( φ (k,k+1) operiert damit auf der Menge der σ-Orbits)k∈NO := { Orb ( (b k ) ∞) | k ∈ N } wie die Nachbartranspositionen ( (k, k + 1) ) auf N. Nachdemk∈Naber jede Permutation aus S N,f als endliches Produkt von Transpositionen benachbarterSymbole darstellbar ist (S N,f∼ = 〈(k, k + 1) | k ∈ N〉), kann auch jede Permutation der MengeO, die nur endlich viele Elemente bewegt, durch ein endliches Produkt von Abbildungenφ (k,k+1) erzeugt werden. Solche Kompositionen sind wieder Automorphismen. VerschiedeneDarstellungen einer endlichen Permutation der Menge O als Produkt von Transpositionsautomorphismenφ (k,k+1) ergeben jeweils den gleichen Automorphismus. Man hat damit einenGruppenisomorphismusS N,f∼ = {endliche Produkte von Nachbartranspositionen (k, k + 1) | k ∈ N}∼ ={endliche Produkte von Automorphismen φ(k,k+1) | k ∈ N } ≤ Aut(σ)was die Behauptung des Satzes zeigt.Korollar 2.27 Die Automorphismengruppe topologischer Markovshifts, die die Voraussetzungenvon Satz 2.26 erfüllen, enthalten unendliche einfache Untergruppen und sind insbesonderenicht residual endlich.Beweis: Nach Satz 2.26 gilt A N,f ≤ S N,f ≤ Aut(σ). Die alternierende Gruppe auf abzählbarvielen Elementen ist aber eine unendliche einfache Gruppe.Die bisherigen Ergebnisse liefern bereits eine grobe Klassifikation aller transitiven Markovshiftsmit abzählbar unendlicher Zustandsmenge. Man erhält eine Einteilung in fünf zueinanderdisjunkte Mengen von Subshifts, die sich in Bezug auf ihre Automorphismengruppendeutlich voneinander unterscheiden:• Nicht lokalkompakte Markovshifts mit nicht residual endlicher Automorphismengruppe:Hier ergeben sich, wie oben gesehen, die schwächsten strukturellen Beschränkungen