Inaugural-Dissertation - CMM

14 Kapitel 1: GrundlagenMan definiert B m (X) := { }a 0 a 1 . . . a m−1 ∈ A m | ∃ x ∈ X : x [0,m−1] = a 0 a 1 . . . a m−1 als dieMenge aller Worte der Länge m ∈ N 0 , die in X auftreten. Aufgrund der Shiftinvarianz derMenge X ist das Auftreten eines Wortes unabhängig von der Koordinatenwahl. Für einenKantenshift sind dies genau alle Pfade der Länge m, die⋃in G enthalten sind.Die disjunkte Vereinigung dieser Blockmengen B(X) := ˙m∈N 0B m (X) heißt die Sprache desSubshifts (X, σ); die Elemente von B(X) heißen zulässige Blöcke oder Worte des Subshifts.Für jeden Block w ∈ B(X) bezeichnet |w| die Länge und w n := w w . . . w (n ∈ N 0 ˙∪ {∞})die n-fache Konkatenation des Blockes w.Ein Subshift (X, σ) heißt lokalkompakt, wenn X als topologischer Raum lokalkompakt ist,i.e. wenn es zu jedem Punkt x ∈ X eine offene Umgebung x ∈ U ⊆ X gibt, deren AbschlußŪ kompakt ist. Diese Eigenschaft ist für Markovshifts äquivalent dazu, daß ein und damitbereits jeder dünne Zylinder kompakt ist.Ein Kantenshift X = X G ist genau dann lokalkompakt, wenn der zugehörige GraphG = (V, E) lokal-endlich ist, d.h. wenn der Ein- und Ausgangsgrad an jedem Vertex endlichist. Dabei ist der Eingangsgrad von v ∈ V die Kardinalität der Menge {e ∈ E | t(e) = v}.Analog für den Ausgangsgrad. Ist der Graph G endlich, i.e. |V |, |E| endlich, so ist (X G , σ)ein kompakter Subshift und damit ein Shift vom endlichen Typ.Ein Subshift (X, σ) heißt (topologisch) transitiv, falls der Shiftraum X irreduzibel ist, i.e.falls es zu jedem Paar u, w ∈ B(X) von Blöcken einen Block v ∈ B(X) gibt, so daß auch derzusammengesetzte Block u v w ∈ B(X) in einem Punkt des Shifts auftritt 2 . Ist X = X G einKantenshift, so ist (X G , σ) genau dann transitiv, wenn der Graph G stark zusammenhängendist.Ein Subshift (X, σ) heißt mischend, falls es zu jedem Paar u, w ∈ B(X) ein N ∈ N gibt, sodaß für alle n ≥ N ein Block v ∈ B n (X) existiert, so daß auch der zusammengesetzte Blocku v w ∈ B(X) für X zulässig ist.Bemerkung: Für transitive Subshifts (X, σ) über einer endlichen Zustandsmenge, die mehrals einen σ-Orbit enthalten, ist der topologische Raum X stets homöomorph zur Cantor-Menge. Eine ähnliche Charakterisierung hat man teilweise auch für nichttriviale, nicht kompakteSubshifts: Der Shiftraum X jedes transitiven, lokalkompakten Subshifts (X, σ) übereinem abzählbar unendlichen Alphabet ist homöomorph zur topologischen Summe abzählbarvieler Kopien der Cantor-Menge ([FieU], Lemma 2.3.1). Bei allgemeinen transitiven, nichtlokalkompakten Subshifts ist der Shiftraum dagegen aus topologischer Sicht nicht eindeutig.Beschränkt man sich jedoch auf transitive, nicht lokalkompakte Markovshifts (X, σ), so istX homöomorph zum Baire’schen Raum N Z ([FieU], Observation 2.3.2).Zu jedem Punkt x ∈ X definiert man den Orbit unter der Shiftabbildung als die MengeOrb(x) := {σ n (x) | n ∈ Z} ⊆ X. Die Menge aller Orbits ist Orb(X) := {Orb(x) | x ∈ X}.2 Diese Begriffsbildung ist äquivalent zur Definition der (topologischen) Transitivität (vgl. [LM] S. 189)für allgemeine topologisch-dynamische Systeme (M, T ):(M, T ) ist topologisch transitiv :⇐⇒∀ U, V ⊆ M offen, nichtleer ∃ n ∈ N : T n (U) ∩ V ≠ ∅