Inaugural-Dissertation - CMM

76 Kapitel 3: Automorphismen mit (un-)beschränkter Kodierlängeist aber y (i)[j,2n−j]= W (i)[j,2n−j]und der Zylinder j[W(i)[j,2n−j]]enthält einen Punkt der Formỹ (i) := ˜l ∞ A ˜l n−2L l C . W (i) D ˜l ∞ ∈ Y bzw. ỹ (i) := ˜l ∞ B ˜l n−2L l C . W (i) D ˜l ∞ ∈ Y mit einerKante aus G im Abschnitt j bis 2n − j. Das Urbild des modifizierten Punktes γ −1 (ỹ (i) )müßte zwischen Koordinate j und 2n − j ein Symbol aus H enthalten. Nach Konstruktionist dies aber einer der vier Punkte x a,en , x a,fn , x b,en , x b,fn . Nach Wahl von j enthält derentsprechende Block in diesen Punkten aber gerade keine Kante aus H. Dies widerlegt dieursprüngliche Annahme und zeigt, daß die Mittelblöcke der Punkte γ −1 (y (i) ) (i ∈ {1, 2, 3})ganz außerhalb von F verlaufen.Wegen ( γ −1 (y (i) ) ) j = u j = c j+1 und ( γ −1 (y (i) ) ) 2n−j = w −j−1 = d j+1 , hätte man nun dreiPfade der Länge 2n − 2j − 1 von t(c j+1 ) nach i(d j+1 ), die keine Kante a, b oder l enthalten.Offensichtlich ein Widerspruch, da höchstens zwei solche Pfade existieren.Damit enthält die Menge W n für n groß genug nur zwei verschiedene Blöcke und derkonjugierte Automorphismus ˜ϕ hat unbeschränkte Kodierlänge. Wie behauptet ist damitϕ /∈ Aut b ∪ G(σ).Die soeben an einem konkreten Beispiel beschriebene Konstruktion eines nicht zu einemsliding-Block-Code umcodierbaren Automorphismus, läßt sich entsprechend modifiziert aufeine ganze Klasse lokal-endlicher Graphen übertragen. Für die zugehörigen Markovshifts hatman damit ebenfalls die Existenz von Automorphismen endlicher Ordnung gezeigt, die in keinerGraphendarstellung beschränkte Kodierlänge aufweisen. Dazu benötigen wir allerdingseinige Vorarbeiten:Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph und v ∈ V ein Vertex. Ein first-return-Loop bei v istein geschlossener Pfad l := e 1 . . . e n (e i ∈ E) endlicher Länge n ∈ N, so daß i(e 1 ) = t(e n ) = vund für alle 1 ≤ i < n : t(e i ) = i(e i+1 ) ≠ v.In Verallgemeinerung der Definition 2.2 benutzen wir im folgenden den Begriff eines Mehrfachpfadesfür eine (endliche) Menge verschiedener Pfade gleicher Länge, die einen gemeinsamenStart- mit einem gemeinsamen Endvertex verbinden. Wir sprechen in diesem Zusammenhangauch von einem N-fachen Pfad, falls zu gegebener Länge und gegebenem StartundEndvertex N entsprechende Pfade existieren und benutzen die Notation [p 1 ; p 2 ; . . . ; p N ].Wie in 2.2 gilt dann: [p 1 ; p 2 ; . . . ; p N ] = [p τ(1) ; p τ(2) ; . . . ; p τ(N) ] für jede Permutation τ ∈ S Nsowie |p 1 | = |p 2 | = . . . = |p N |, i(p 1 ) = i(p 2 ) = . . . = i(p N ) und t(p 1 ) = t(p 2 ) = . . . = t(p N ).Für P := [p 1 ; p 2 ; . . . ; p N ] seien daher |P |, i(P ) und t(P ) in offensichtlicher Weise definiert.Definition 3.17 Ein gerichteter, lokal-endlicher Graph G = (V, E) hat die Eigenschaft(BNPC) (Die Bezeichnung steht für ”bounded-number-of-paths component”), falls eine endlicheMenge K E von Kanten existiert, so daß eine maximale stark zusammenhängendeKomponente 7 H = (V H , E H ) des Graphen G − K = (V, E \ K) folgende Bedingungen erfüllt:1. Die Anzahl der first-return-Loops an einem ausgezeichneten Vertex v ∈ V H von gleicher7 Der Graph G−K, der aus G durch Entfernen der endlichen Kantenmenge K entsteht, ist im allgemeinennicht länger stark zusammenhängend. Eine maximale stark zusammenhängende Komponente in G − K istein nicht vergrößerbarer, stark zusammenhängender Teilgraph von G − K.