Inaugural-Dissertation - CMM

12 Kapitel 1: GrundlagenZylindermengen sind zugleich offen und abgeschlossen und bilden eine abzählbare Basis derTopologie. Jede offene Menge läßt sich als Vereinigung von Zylindermengen darstellen. Σ A istdamit ein total unzusammenhängender, nulldimensionaler topologischer Raum ohne isoliertePunkte.Auf Σ A definiert man die Shiftabbildung σ : Σ A → Σ A : σ ( )(x i ) i∈Z := (xi+1 ) i∈Z . Eine Folge(x i ) i∈Z wird unter σ um eine Stelle nach links geschoben. σ erzeugt damit eine Dynamik aufdem Raum Σ A . Offensichtlich ist σ invertierbar und respektiert die topologische Strukturvon Σ A .Unter der Wirkung von σ wird die Topologie bereits von den Nullzylindern 0 [a] (a ∈ A)erzeugt.Das aus dem Shiftraum Σ A zusammen mit dem Homöomorphismus σ bestehende invertierbaresymbolisch-dynamische System ist der zweiseitige volle Shift über dem AlphabetA.Bemerkung: Führt man obige Konstruktion für eine endliche Zustandsmenge A mit |A| =N aus, so erhält man den vollen, zweiseitigen N-Shift (Σ N , σ). Anders als bei abzählbarunendlichem Alphabet ist der Shiftraum Σ N – als abzählbares Produkt kompakter Räume– nach Tychonoff selbst kompakt. Ein Unterschied, der sich in erheblichem Maß auf dieEigenschaften dieser symbolisch-dynamischen Systeme und die sie beschreibende Theorieauswirkt.Innerhalb jedes vollen zweiseitigen Shifts definiert man Subshifts (X, σ). Dabei ist X ⊆ Σ Aeine beliebige (abgeschlossene), shiftinvariante Teilmenge, die mit der Relativtopologie versehenwird. Erzeugt wird diese von den Durchschnitten der Zylindermengen aus Σ A mit X.σ ist hierbei die Einschränkung der Shiftabbildung auf die Teilmenge X.Zwei Subshifts (X 1 , σ 1 ), (X 2 , σ 2 ) werden als das gleiche dynamische System angesehen, wennsie zueinander (topologisch) konjugiert sind, d.h. wenn ein Homöomorphismus γ : X 1 → X 2existiert, der mit den Shiftabbildungen vertauscht: γ ◦ σ 1 = σ 2 ◦ γ. Die Abbildung γ heißt(topologische) Konjugation.(X 1 , σ 1 ) und (X 2 , σ 2 ) sind dann lediglich zwei Darstellungen des gleichen topologischdynamischenObjekts. Die Menge aller zu einem gegebenen Subshift (X, σ) konjugiertenSubshifts in (Σ A , σ) wird mit Pres(X) bezeichnet.Bemerkung: Allgemein heißt ein topologisch-dynamisches System (M, T ) ein Subshift übereiner abzählbar unendlichen Zustandsmenge genau dann, wenn (M, T ) topologisch konjugiertzu einem Subshift von (Σ A , σ) ist. Dies ist nach einer Verallgemeinerung von [FieU] Lemma2.1.9 äquivalent dazu, daß M ein nulldimensionaler, polnischer, i.e. vollständiger, separabler,metrischer Raum und T expansiv bezüglich einer Metrik ist, die die Topologie auf M erzeugt.Ein Subshift (X, σ) heißt topologischer Markovshift, falls die Menge seiner DarstellungenPres(X) einen sogenannten Kantenshift (X G , σ) auf einem gerichteten Graphen G = (V, E)enthält. Dabei bezeichnet X G die Menge aller zweiseitig-unendlichen Wege in G, die üblicherweiseals zweiseitig-unendliche Folge von Kanten aus E gegeben sind.