Inaugural-Dissertation - CMM

4.1 Aut(σ) als direkte Summe 97gedünnten Graphen durch eine endliche Folge von State-Splittings leicht knotendisjunktgemacht werden können. 1Tatsächlich haben ausgedünnte Graphen sogar ein einelementiges Vertex-ROM:Beobachtung 4.2 Sei G = (V, E) ein ausgedünnter Graph, so existiert ein Vertex v ∈ V ,der in allen zweiseitig-unendlichen Wegen in G auftritt. G enthält daher weder zwei knotendisjunkteLoops, noch zwei knotendisjunkte, zweiseitig-unendliche, einfache Wege.Speziell sieht jeder nicht-einfache Pfad in G den Vertex v. First-return-Loops bei v sind stetseinfache Loops.Beweis: Angenommen es gibt zu jedem Vertex v ∈ V einen Loop l v := e 1 e 2 . . . e |lv| (e i ∈ E),so daß t(e |lv|) = i(e 1 ) ≠ v und für 1 ≤ i < |l v |: t(e i ) = i(e i+1 ) ≠ v. Durch den starkenZusammenhang in G ist es möglich, minimale Verbindungspfade p von v nach i(e 1 ) sowieq von t(e |lv|) nach v zu finden. Die Minimalität dieser Pfade garantiert, daß die Menge Lder first-return-Loops bei v die unendliche Teilmenge { }p l i v q | i ∈ N 0 ⊆ L enthält. FürM := |l v | ergibt dies einen Widerspruch zur Definition eines ausgedünnten Graphen. Manhat so zumindest einen Vertex v ∈ V , der in allen Loops und damit in allen nicht-einfachenPfaden/Wegen in G auftritt.Sei nun w := . . . w −3 w −2 w −1 w 0 w 1 w 2 w 3 . . . ein zweiseitig-unendlicher, einfacher Wegin G (w i ∈ E, t(w i ) = i(w i+1 ) ≠ v ∀ i ∈ Z), der den Vertex v nicht sieht. Wie obenexistieren ein minimaler Verbindungspfad p 1 von v nach i(w 0 ), ein minimaler Pfad p 2von v nach i(w −|p1 |) sowie eine unendliche Folge (q i ) i∈N minimaler Verbindungspfade vont(w ni ) mit n i := ∑ i−1j=1 |q j| zurück zu v. All diese Pfade sind nach Vorgabe nicht leer undnach Konstruktion verschieden. Wieder hat man unendlich viele Paare p 1 w 0 . . . w ni q i undp 2 w −|p1 | . . . w 0 w 1 . . . w ni q i (i ∈ N) von first-return-Loops am Vertex v, deren Längendifferenzdurch M := |p 2 | beschränkt ist. Durch eine Reihe von Approximationsargumenten weisen wir nach, daß jeder Automorphismusnicht nur die zweiseitig-unendlichen, einfachen Wege eines ausgedünnten Graphenrespektiert, sondern sogar alle entsprechenden Punkte um eine einheitliche Weite verschiebt.Dieses Verhalten wird durch die anwachsenden Längendifferenzen der first-return-Loops gesteuert.Die Struktur des Graphen weit draußen ”bei Unendlich” beeinflußt also direkt diemöglichen Automorphismen.Lemma 4.3 Der transitive, lokalkompakte Markovshift (X, σ) über einem abzählbar unendlichenAlphabet sei als Kantenshift auf einem ausgedünnten Graphen G = (V, E) dargestellt.Dann induziert jeder Automorphismus ϕ ∈ Aut(σ) eine Permutation auf den zweiseitigunendlichen,einfachen Wegen in G.Tatsächlich wirkt ϕ auf den entsprechenden Punkten (Repräsentanten zweiseitig-unendlicher,einfacher Wege) in X wie eine feste Potenz der Shiftabbildung. Die von ϕ induzierte Permutationist also stets die Identität.1 Die Möglichkeit einer Zerlegung der Automorphismengruppe in eine direkte Summe ist als rein gruppentheoretischeEigenschaft dieser Invarianten jedoch offensichtlich darstellungsunabhängig.