Inaugural-Dissertation - CMM

18 Kapitel 1: Grundlagen1.2 Automorphismen symbolisch-dynamischer Systeme– Stand der ForschungWir definieren Automorphismen eines Subshifts, geben einige Beispiele und erläutern,warum die Automorphismengruppe ein interessantes, invariant mit dem Subshift verbundenesObjekt ist. Anschließend beschreiben wir den momentanen Kenntnisstand in Bezug aufdie Automorphismen(gruppen) von SFTs und codierten Systemen.Wie in vielen Bereichen der Mathematik studiert man auch Subshifts, indem man ihre innerenSymmetrien untersucht. Den passenden Rahmen hierfür bildet der Begriff des Automorphismus:Sei (X, σ) ein beliebiger Subshift über einem (endlichen oder abzählbar unendlichen)Alphabet. Eine Abbildung ϕ : X → X heißt ein Automorphismus (von σ), falls ϕein Homöomorphismus auf X ist, der zusätzlich mit der Shiftabbildung vertauscht,d.h. ϕ ◦ σ = σ ◦ ϕ.Mit anderen Worten ist ein Automorphismus also eine topologische Konjugation dessymbolisch-dynamischen Systems zu sich selbst.Einfache Beispiele für Automorphismen auf zweiseitigen Subshifts (X, σ) sind die IdentitätId X sowie die Potenzen σ i (i ∈ Z) der Shiftabbildung. Auf dem vollen Shift über demAlphabet A induziert zudem jede Permutation π : A → A einen Automorphismusϕ π : Σ A → Σ A durch ( ϕ(x) ) := π(x i i) für alle x ∈ Σ A und i ∈ Z.Offensichtlich sind mit ϕ, φ auch die zusammengesetzte Abbildung ϕ ◦ φ unddie inverse Abbildung ϕ −1 Automorphismen. Damit induziert die Kompositioneine Gruppenstruktur auf der Menge der Automorphismen Aut(σ) :={ϕ : X → X | ϕ Homöomorphismus ∧ ϕ ◦ σ = σ ◦ ϕ}.Die Automorphismengruppe Aut(σ) ist eine Invariante der topologischen Konjugation.Seien (X, σ X ) und (Y, σ Y ) zwei topologisch konjugierte Subshifts und sei γ : X → Y diezugehörige Konjugation, so vermittelt γ einen Gruppenisomorphismus Aut(σ X ) → Aut(σ Y )durch ϕ ↦→ γ ◦ ϕ ◦ γ −1 .Bereits seit der Arbeit von G. Hedlund [Hed] versucht man die Automorphismengruppen verschiedenerSubshifts zu verstehen, um daraus Informationen über das jeweilige symbolischdynamischeSystem zu erhalten. Interessiert ist man vor allem an der Größe, der Untergruppenstrukturund den algebraischen Eigenschaften von Aut(σ) als abstrakter Gruppe.Daneben stehen Fragen nach speziellen Darstellungen der Automorphismengruppe, d.h. Homomorphismenin kleinere, einfacher strukturierte Gruppen, im Vordergrund. Die Schwierigkeitund Komplexität solcher Fragestellungen zeigt sich unter anderem darin, daß bishermit wenigen Ausnahmen nur Ergebnisse über Automorphismen(gruppen) von Shifts vomendlichen Typ veröffentlicht wurden. Hierfür hat man eine tiefgehende Theorie entwickelt,die ihre Wurzeln in verschiedensten Teildisziplinen (Algebra, Kombinatorik, Zahlentheorie,algebraische Topologie, K-Theorie, Maß- und Ergodentheorie) der Mathematik hat.