Inaugural-Dissertation - CMM

3.2 Umkodierbarkeit zu sliding-Block-Codes 85la ✲ ✲ ✲ ✲ ✲✕❑ ☛ c 1 c 2 c 3 c 4 c 5be 1 e 2 e 3 e 4 e 5✛ ✛ ❄ ✛❄ ✛❄ ✛❄ ✛ ❄d 1 d 2 d 3 d 4 d 5. . .. . .Abbildung 3.10: Graphendarstellung eines transitiven, lokalkompakten Markovshifts.Y ∈ Pres(X) und topologische Konjugationen γ : X → Y existieren, bezüglich derer besonderswenige Automorphismen kodierlängenbeschränkt sind. Für solche Darstellungen wäredie Gruppe Aut b γ(σ) im Hinblick auf ihre Untergruppenstruktur entsprechend klein. Im Extremfallkönnte man die Existenz einer Darstellung Y ∗ und γ ∗ : X → Y ∗ vermuten, zu derAut b γ∗(σ) nur Potenzen der Shiftabbildung enthält.Tatsächlich scheint Aut b γ(σ) aber immer eine komplizierte Gruppe mit reicher Untergruppenstrukturzu sein:Enthält eine Darstellung eines topologischen Markovshifts ein synchronisierendes Wort, soist die Konstruktion entsprechender Markerautomorphismen möglich. Dies zeigt, daß danndie Untergruppe der Automorphismen mit beschränkter Kodierlänge bereits sehr groß undkomplex ist.Primär wären somit Darstellungen ohne synchronisierende Worte interessant. In einem nichttrivalenResultat der Arbeit [FieD3] (Theorem 1.6) wurde bereits die Existenz solcher Darstellungennachgewiesen. Leider ist auch hier Aut b γ(σ) nicht besonders klein 10 , wie folgendesBeispiel zeigt:Beispiel 3.25 Der transitive, lokalkompakte Markovshift (X, σ) mit abzählbar unendlichemZustandsraum sei durch die in Abbildung 3.10 gezeigte Graphendarstellung gegeben. Seiy := l ∞ . l c 1 c 2 c 3 c 4 . . . und γ : X → {( (a0),b(0),l) (1 ,ci) (0 ,ci) (1 ,di) (0 ,ei Z0)}die durch(γ(x)) i :={( xi(1xi0))definierte Abbildung.falls x i = y n und x i−j = y 0 für ein n ≥ 0 und n 2 − 1 ≤ j ≤ n 2 + 1sonstγ : X → γ(X) ist dann eine Konjugation und Y := γ(X) ∈ Pres(X) eine Darstellung ohnesynchronisierendes Wort 11 . Jede Involution ˜ϕ n : Y → Y (n ∈ N), die einzig folgende 2Blöcke vertauscht: ( e n)( dn)( dn−1) (0 0 0 . . .d1)( a(0 0)←→en)( dn)( dn−1) (0 0 0 . . .d1)( b0 0)(sonst keine Wirkung),hat beschränkte Kodierlänge in Y . Die Blöcke, auf die ˜ϕ n wirkt, liegen außerhalb desBildpunktes γ(y). Symbole, die durch ˜ϕ n verändert werden, sind deshalb immer von der Form10 Eine erste Vermutung war, daß in diesem Fall tatsächlich Aut b γ(σ) = 〈σ〉 gelten würde.11 Die Konstruktion der Darstellung Y ∈ Pres(X) und die Tatsache, daß es sich um eine Präsentation ohnesynchronisierende Blöcke handelt, geht auf D. Fiebig ([FieD3] Theorem 1.6) zurück.