Inaugural-Dissertation - CMM

127Vergleicht man die bei SFTs, codierten Systemen und topologischen Markovshifts über einemabzählbar unendlichen Alphabet auftretenden Automorphismengruppen, so fallen diewesentlich größeren Ähnlichkeiten zwischen SFTs und Markovshifts, als zwischen diesen undcodierten Systemen auf. Für die Automorphismen hat die Markov-Eigenschaft einen deutlichstärkeren Einfluß als die Kompaktheit.Es existieren Automorphismen (bei lokalkompakten Markovshifts ohne (FMDP) sogarüberabzählbar viele Involutionen), die in einer vorgegebenen Darstellung des topologischenMarkovshifts mit abzählbar unendlichem Zustandsraum keine sliding-Block-Codes sind. Zudemmuß das Inverse eines Automorphismus mit beschränkter Kodierlänge diese Eigenschaftselbst nicht haben.Zu jeder Darstellung läßt sich in Aut(σ) die Untergruppe der Automorphismen definieren,die, zusammen mit ihren Inversen, in dieser Darstellung beschränkte Kodierlänge haben.Diese Untergruppen hängen echt von der Darstellung ab. Der Schnitt bzw. die Vereinigungüber alle (Graphen-)Darstellungen ergibt jedoch Konjugationsinvarianten.Jeder Automorphismus eines lokalkompakten, transitiven Markovshifts (X, σ) mit abzählbarunendlichem Zustandsraum, der keine Potenz der Shiftabbildung ist, hat in einer Graphendarstellungunbeschränkte Kodierlänge. Insbesondere gilt dann: 〈σ〉 = Aut b ∩ G(σ) = Aut b ∩(σ).Die Untergruppen Aut b γ 1(σ) und Aut b γ 2(σ) zu je zwei topologischen Konjugationenγ 1 , γ 2 : X → Y sind isomorph. Für topologische Konjugationen γ 1 : X → Y 1 undγ 2 : X → Y 2 gilt allgemein Aut b γ 1(σ) ≠ Aut b γ 2(σ).Es gibt Automorphismen ϕ ∈ Aut b X(σ), die bezüglich der Darstellung (X, σ) beschränkte Kodierlängehaben, deren Konjugationsklasse {φ ◦ ϕ ◦ φ −1 | φ ∈ Aut(σ)} aber Automorphismenunbeschränkter Kodierlänge enthält. Allgemein gilt: Aut b ∩ X(σ) Aut b X(σ) Aut b ∪ X(σ).Es existiert eine Klasse transitiver, lokalkompakter Markovshifts über einem abzählbar unendlichenAlphabet, deren Automorphismengruppe überabzählbar viele Automorphismen endlicherOrdnung enthält, die in keiner Graphendarstellung beschränkte Kodierlänge aufweisen.Speziell sind dann Aut b ∪ G(σ) und Aut(σ) \ Aut b ∪ G(σ) überabzählbar.Zu jedem Automorphismus endlicher Ordnung findet man eine Darstellung des topologischenMarkovshifts mit abzählbar unendlicher Zustandsmenge, in der dieser Automorphismusbeschränkte Kodierlänge hat (sogar ein 1-Block-Code ist). Folglich gilt:{ϕ ◦ σ i | ϕ ∈ Aut(σ) endlicher Ordnung ∧ i ∈ Z} ⊆ Aut b ∪(σ).Ist X nicht lokalkompakt, so haben in jeder Graphendarstellung überabzählbar viele Automorphismenbeschränkte Kodierlänge.Ist X lokalkompakt und Aut(σ) überabzählbar, so existieren Graphendarstellungen, in denenüberabzählbar viele Automorphismen beschränkte Kodierlänge haben (sogar involutorische 1-Block-Codes sind). Beispiele zeigen, daß es andererseits Graphendarstellungen gibt, in denentrotz Aut(σ) überabzählbar nur abzählbar viele Automorphismen eine beschränkte Kodierlängeaufweisen.Bei nicht kompakten Subshifts treten erstmals stetige, shiftkommutierende Abbildungen mitunbeschränkter Kodierlänge auf. Bei lokalkompakten Subshifts ist die Kodierlänge eines einzelnenSymbols bzw. eines endlichen Blockes beschränkt, während bei nicht lokalkompaktenSubshifts auch diese lokalen Kodierlängen unbeschränkt sein können. Viele der angegebenen