Inaugural-Dissertation - CMM

3.3 Die Kardinalität von Aut b X(σ) 87Beweis: Wir führen den Beweis nur für einen Kantenshift X = X G , wobei G = (V, E)einen Vertex mit unendlichem Ausgangsgrad hat. Für den symmetrischen Fall einer Eckemit unendlichem Eingangsgrad läßt sich der Beweis direkt übertragen.Sei v ∈ V ein Vertex, von dem unendlich viele Kanten e 1 , e 2 , e 3 , . . . ∈ E ausgehen. Wähle zue 1 einen kürzestmöglichen Pfad p 1 von t(e 1 ) zurück zu v. Entsprechend für e 2 . Ist t(e 1 ) odert(e 2 ) bereits gleich v, so sind p 1 bzw. p 2 leer.Zu einer 0/1-Folge (a k ) k∈N ∈ {0, 1} N definiert man eine Abbildung ϕ (ak ) : X → X, die einenPunkt x ∈ X ⊆ E Z scannt und für alle i ∈ N einen Block der Form (e 1 p 1 ) |e 2 p 2 | e i+2 genaudann durch einen Block der Form (e 2 p 2 ) |e 1 p 1 | e i+2 sowie umgekehrt ersetzt, wenn a i = 1 ist.Die Minimalität der Pfade p 1 , p 2 garantiert die Wohldefiniertheit von ϕ (ak ). Man überzeugtsich leicht, daß ϕ (ak ) ein involutorischer sliding-Block-Code mit Gedächtnis |e 1 p 1 | · |e 2 p 2 | − 1und Vorschau |e 1 p 1 | · |e 2 p 2 | ist. Da zudem ϕ (ak ){≠ ϕ (bk ) für zwei verschiedene 0/1-Folgen (a k ) k∈N , (b k ) k∈N ∈ {0, 1} N , hat man mit ϕ (ak∣) (ak ) k∈N ∈ {0, 1} N} ⊆ Aut(σ)eine überabzählbare Menge von Automorphismen mit beschränkter Kodierlänge auf Xkonstruiert.Für den in Abbildung 2.3 gezeigten Beispielgraphen hat man so zu jeder Kodierlänge ≥ 4(Gedächtnis ≥ 1 und Vorschau ≥ 2) überabzählbar viele Automorphismen. Man benutztdie Selbstschleife als e 1 und den Loop der Länge 2 als e 2 p 2 . Zu kleineren Kodierlängenexistieren dagegen jeweils nur endlich viele sliding-Block-Codes.Betrachten wir nun einen lokalkompakten, nichttrivialen Markovshift (X, σ). Die Frage nachder Kardinalität von Aut b X(σ) stellt sich nur, falls Aut(σ) überabzählbar ist. Allgemein gilt{σ i | i ∈ Z} ≤ Aut b X(σ) ≤ Aut(σ), so daß für abzählbare Automorphismengruppen Aut(σ),unabhängig von der gewählten Darstellung (X, σ), auch Aut b X(σ) abzählbar unendlich ist.Für lokalkompakte, transitive Markovshifts mit überabzählbarer Automorphismengruppekann man dagegen die Existenz spezieller Graphendarstellungen (X, σ) nachweisen, für dieAut b X(σ) überabzählbar ist.Hierzu benötigen wir ein technisches Lemma, das es uns ermöglicht Doppelpfade durch State-Splittings zu isolieren:Lemma 3.27 Sei G ein gerichteter, lokal-endlicher Graph und [p; q] ein Doppelpfad in G.Durch eine endliche Anzahl von State-Splittings läßt sich ein neuer, ebenfalls lokal-endlicherGraph G ′ erzeugen, der anstelle von [p; q] einen Doppelpfad [p ′ ; q ′ ] (mit i([p ′ ; q ′ ]) = i([p; q]),t([p ′ ; q ′ ]) = t([p; q]) und |[p ′ ; q ′ ]| = |[p; q]|) aus zwei isolierten Pfaden p ′ , q ′ enthält. Hierbeiwird G nur lokal in der unmittelbaren Umgebung von [p; q] abgeändert, d.h. die Splittingswirken nur auf die Vertices des Doppelpfades [p; q]. Deshalb sind die durch G und G ′ dargestelltenKantenshifts topologisch konjugiert zueinander.Beweis: Zunächst definieren wir 3 elementare Graphenumformungen:1. Auseinanderziehen eines einfachen Loops mit einer auslaufenden Kante (vgl. Abbildung3.11):