Inaugural-Dissertation - CMM

128 Kapitel 5: ZusammenfassungResultate über lokalkompakte Markovshifts benutzen genau diese lokalen Kodierlängen, zusammenmit der Kompaktheit dünner Zylinder, als wesentliche Idee im Beweis.Die Menge der Untergruppen der kodierlängenbeschränkten, i.e. in beide Richtungengleichmäßig stetigen Automorphismen zu jeder Darstellung bildet in ihrer Gesamtheit eineKonjugationsinvariante. Durch Schnittbildung bzw. Vereinigung über einzelne oder alle(Graphen-)Darstellungen ergeben sich weitere Teilmengen in Aut(σ). Diese können in einerdurch Inklusion partiell geordneten Hierarchie (vgl. Abbildung 3.9) strukturiert werden.Jede topologische Konjugation induziert auf dieser Familie von Untergruppen/Teilmengeneine Permutation, die zudem die einzelnen Schichten invariant in sich überführt. Die ausgezeichnetenElemente Aut b ∩(σ), Aut b ∩ G(σ), Aut b ∪(σ), Aut b ∪ G(σ) bleiben hierbei fest, i.e. sindkonjugationsinvariant.Einzig die Potenzen der Shiftabbildung sind in allen (Graphen-)Darstellungen einesnicht kompakten, transitiven Markovshifts über einem abzählbar unendlichen Alphabetgleichmäßig stetig. Alle übrigen Automorphismen haben bereits in einer Graphendarstellungunbeschränkte Kodierlänge; viele von ihnen (z.B. alle Automorphismen endlicher Ordnung)sind jedoch in anderen Darstellungen kodierlängenbeschränkt. Die Frage nach der Existenzvon Automorphismen, die in keiner Graphendarstellung gleichmäßig stetig sind, konnte füreine Klasse lokalkompakter Markovshifts positiv beantwortet werden. Diese haben jedochendliche Ordnung und können so in einer speziellen Nicht-Graphendarstellung stets zu einem1-Block-Code umcodiert werden.Genau wie die gesamte Automorphismengruppe können auch die einzelnen Untergruppen kodierlängenbeschränkterAutomorphismen bisher nicht exakt beschrieben werden. Es gelingtaber, die Echtheit einzelner Inklusionen innerhalb der Hierarchie sowie die Kardinalität inden verschiedenen Schichten zu bestimmen (Abbildung 3.9 und Abschnitt 3.3).Eine entscheidende Rolle bei der Kardinalität spielt wieder der noch im System vorhandeneRest an Kompaktheit. So sind bei nicht lokalkompakten Markovshifts mit abzählbarunendlichem Zustandsraum die Untergruppen der Automorphismen mit beschränkter Kodierlängezu beliebigen Graphendarstellungen überabzählbar, während bei lokalkompaktenMarkovshifts ohne (FMDP) darstellungsabhängig der abzählbare oder überabzählbare Fallauftritt.Es existiert eine Klasse transitiver, lokalkompakter Markovshifts mit abzählbar unendlicherZustandsmenge, deren Automorphismengruppe eine direkte Summe aus der vom Shift erzeugtenzyklischen Gruppe und einer zentrumslosen Gruppe G ist. Dabei enthält G alle Automorphismen,die nur auf den σ-Orbit einer kompakten Menge in X wirken, dessen Komplementalle zweiseitig-unendlichen, einfachen Wege einer speziellen Graphendarstellung enthält.Jeder Automorphismus eines solchen Markovshifts wirkt auf alle Repräsentanten zweiseitigunendlicher,einfacher Wege wie eine feste Potenz der Shiftabbildung.Wie in [FF3] ausgiebig beschrieben, zerfällt die Automorphismengruppe bei codierten Systemenhäufig in eine direkte Summe. Dies lieferte die Motivation, eine Klasse lokalkompakterMarkovshifts anzugeben, die ebenfalls dieses Verhalten zeigen. Wichtig ist hier die durch dieausgedünnte Struktur des Subshifts erzeugte Starrheit, die erzwingt, daß die Wirkung jedesAutomorphismus ”weit draußen” wie die einer festen Potenz der Shiftabbildung aussieht.Die Automorphismengruppe läßt sich nach dieser Wirkung faktorisieren. Übrig bleibt dieGruppe der Automorphismen, die in der Nähe des Randes wie die Identität wirken.