Inaugural-Dissertation - CMM

120 Kapitel 4: Automorphismen bei ”Unendlich”Schließlich läßt sich ein k ∈ N, k ≥ j finden, für das gilt:γ((p ∞ u 0 . . . u i . . . u j . . . u k−1 u k ] k−i ) ⊆ (q ∞ U −L . . . U 0 . . . U i . . . U j−1 U j ] j−iγ( i−k [w −k w −k+1 . . . w −j . . . w −i . . . w −1 p ∞ )) ⊆ i−j [W −j W −j+1 . . . W −i . . . W 0 . . . W L−1 q ∞ )Man vergleicht nun die Pfadstruktur des Graphen G (1)n 1 = (V 1 , E (1) H) zwischen den Verticesn 1t(u k ) und i(w −k ) mit der des Graphen G (2)n 2 = (V 2 , E (2) H) zwischen t(U j ) und i(W −j ):n 2Zu m ∈ N seiB m :={ ∣ }b 1 . . . b m uk b 1 . . . b m w −k ∈ B m+2 (X 1 ) ∧ ∀ 1 ≤ µ ≤ m : b µ ∈ E (1) H⊆ B m (X 1 )n 1die Menge aller Pfade der Länge m, die vollständig in H (1)n 1 verlaufen und t(u k ) mit i(w −k )verbinden.Zu jedem Block b = b 1 . . . b m ∈ B m konstruiert man nun einen Punktx b := p ∞ u 0 . . . u i−1 . u i . . . u j u j+1 . . . u k b 1 . . . b m w −k . . . w −j−1 w −j . . . w −i . . . w −1 p ∞ ∈ X 1Dessen Bild unter γ hat folgende Gestalt:γ(x b ) = q ∞ U −L . . . U 0 . . . U i−1 . U i . . . U j ? ? ? W −j . . . W −i . . . W 0 . . . W L−1 q ∞Nach Konstruktion enthält der Block u j+1 . . . u k b 1 . . . b m w −k . . . w −j−1 nur Kanten aus E (1) H.n 1Daher kann keine Kante des unbekannten, mittleren Blockes in der Menge K n (2)2 liegen, sonstwürde sich ein Widerspruch zu (KH) ergeben. Nach Wahl von i liegen U j und W −j und damitauch alle Kanten des unbekannten Blockes in E (2) H.n 2Die Komponente H n (2)2 muß damit zwischen den Vertices t(U j ) und i(W −j ) mindestens soviele Pfade der Länge m + 2(k − j) enthalten, wie die Komponente H n (1)1 Pfade der Formu j+1 . . . u k b 1 . . . b m w −k . . . w −j−1 mit b 1 . . . b m ∈ B m enthält.Dies zeigt die Einbettbarkeit des Θ X1 -Orbits O 1 in O 2 . Ein symmetrisches Argument mitγ −1 anstelle von γ zeigt, daß auch der Θ X2 -Orbit O 2 bezüglich der Pfadstruktur bei ∞ inO 1 einbettbar ist.Als unmittelbare Folgerung aus Satz 4.16 erhält man eine entsprechende Aussage überAutomorphismen und das Bild der Automorphismengruppe unter der kanonischen-Rand-Darstellung β:Korollar 4.17 Sei (X, σ) ein lokalkompakter, transitiver Markovshift mit abzählbar unendlicherZustandsmenge. (Z(X), Θ X ) bezeichne den kanonischen Rand. Ein Θ X -OrbitO 1 ∈ Orb(Z(X)) läßt sich höchstens dann durch die Fortsetzung ˆϕ eines Automorphismusϕ ∈ Aut(σ) auf einen Θ X -Orbit O 2 ∈ Orb(Z(X)) abbilden, wenn O 1 und O 2 bezüglichihrer Pfadstruktur bei ∞ vergleichbar sind.