Inaugural-Dissertation - CMM

78 Kapitel 3: Automorphismen mit (un-)beschränkter KodierlängeWeiterhin können zwei Pfade a (m) , a (n) (m ≠ n) nicht rekombinieren, d.h. nach einem beliebiglangen gemeinsamen Anfangsstück verlaufen die Pfade a (m) und a (n) kantendisjunkt. Umdies einzusehen, betrachte man eine Zerlegung a (m) := a (m)1 a (m)2 a (m)3 und a (n) := a (n)1 a (n)2 a (n)3 ,wobei a (m)1 ≠ a (n)1 und a (m)2 = a (n)2 nichtleere Teilpfade von a (m) bzw. a (n) seien. OE sei|a (n)1 | ≥ |a (m)1 |. Man betrachte den Pfad ã (n) := a (m)1 a (n)2 a (n)3 . Falls |a (n)1 | > |a (m)1 |, ist dies einekürzere Verbindung von v nach i(P n ) zur Wahl von a (n) . Ist dagegen |a (n)1 | = |a (m)1 | unddamit |a (n) | = |ã (n) |, so ergibt sich ein Widerspruch zur Eindeutigkeit von a (n) .Eine symmetrische Überlegung zeigt, daß zwei Pfade b (m) , b (n) (m ≠ n) nicht aufspaltenkönnen, d.h. sie enden nach beliebig langen kantendisjunkten Anfangsstücken in einem(möglicherweise leeren) gemeinsamen Endstück.Aufgrund der lokalen Endlichkeit des Teilgraphen H gibt es einen rechtsseitigunendlichenWeg r := r 0 r 1 r 2 r 3 . . . mit i(r 0 ) = v, einen linksseitig-unendlichen Wegs := . . . s −4 s −3 s −2 s −1 mit t(s −1 ) = v und eine unendliche Indexmenge N ⊆ N, so daß füralle n ∈ N der Pfad a (n) mit einem endliche Anfangsstück von r beginnt, dessen Länge mitn über jede Schranke wächst, und so daß der Pfad b (n) in einem endlichen Schlußstück von sendet, dessen Länge ebenfalls mit n unbeschränkt zunimmt. Zur Konstruktion von r und swende man wiederholt das Schubfachprinzip auf die unendlich vielen Pfade a (n) (bzw. b (n) ) sowiedie nur endlich vielen vom Knoten v ausgehenden (bzw. einlaufenden) Pfade fester Längean, um so induktiv die Teilpfade r 0 , r 0 r 1 , r 0 r 1 r 2 , . . . (bzw. s −1 , s −2 s −1 , s −3 s −2 s −1 , . . . )auszuwählen.Die Einfachheit der Pfade a (n) und b (n) (n ∈ N) erzwingt die Einfachheit der Wege r unds, so daß r und s wie gefordert schließlich jeden endlichen Teilgraphen in H verlassen. rund s sind zueinander kantendisjunkt. Andernfalls hätten bereits die Pfade a (n) und b (n) fürgeeignetes n ∈ N eine gemeinsame Kante. Dies würde die Existenz eines zu v knotendisjunktenM-fachen Loops und damit einen Widerspruch zu Bedingung 1 in Definition 3.17implizieren.Aus den oben gezeigten Eigenschaften der Verbindungspfade folgt weiterhin, daß a (n)(n ∈ N ) mit einem endlichen Anfangsblock aus r beginnt und danach keine weitere Kanteaus r enthält (a (n) darf nicht rekombinieren). Es bezeichne a (n) = r (n) c (n) eine entsprechendeAufteilung in zwei Teilpfade mit r (n) := r 0 r 1 r 2 . . . r in mit i n ∈ N 0 und c (n) enthält keineKante aus r (c (n) darf leer sein).Entsprechend sei b (n) = d (n) s (n) eine Unterteilung des Pfades b (n) in einen (möglicherweiseleeren) Block d (n) , der keine Kante aus s enthält und einen Teilpfad s (n) := s −jn . . . s −2 s −1mit j n ∈ N (b (n) kann nicht aufspalten).Abschließend zeigt man, daß die konstruierten Wege r, s wie gefordert unendlich viele kantendisjunkteMehrfachpfade maximaler Anzahl tragen:Sei dazu P := { (c (n) , P n , d (n) ) | n ∈ N } . Man setzt N 1 := 1, wählt einen Index n ∗ ∈ N mit|r (n∗) | = min { |r (n) | | n ∈ N } und definiertQ 1 = c (n∗) P n ∗ d (n∗) := [ c (n∗) p (n∗ )1 d (n∗) ; c (n∗) p (n∗ )2 d (n∗) ; . . . ; c (n∗) p (n∗ )] )M d(n∗Weiterhin setzt man N 2 := max { |r (n∗) |, |s (n∗) | } + 1.Man entfernt aus P zunächst alle Elemente, für die |r (n) | < N 2 oder |s (n) | < N 2 ist, i.e. fürdie i(c (n) ) = i(r i ) oder t(d (n) ) = i(s −i ) mit i < N 2 . Obwohl hierbei P eventuell um unendlichviele Elemente verkleinert wird, bleibt die Kardinalität von P unendlich, da die Länge der