Inaugural-Dissertation - CMM

4.3 Die Pfadstruktur bei ∞ 119durch aufsteigende Folgen (K n (1) ) n∈N und (K n(2) ) n∈N endlicher Teilmengen der KantenmengenE 1 bzw. E 2 definiert (K (i)1 ⊆ K (i)2 ⊆ K (i)3 ⊆ . . . mit K n(i) E i endlich und ⋃ n∈N K(i) n = E ifür i ∈ {1, 2}). Dabei enthalte K (1)1 bereits alle Kanten eines (kürzesten) Loops p in G 1 undjedes K n(i) (n ∈ N, i ∈ {1, 2}) sei Kantenmenge eines stark zusammenhängenden Teilgraphenin G i .Um die Behauptung einzusehen, sei O 1 = (H n (1) ) n∈N ∈ Orb ( Z(X 1 , (K n(1) ) n∈N ) ) ein beliebigerΘ X1 -Orbit und O 2 = (H n (2) ) n∈N := ˆφ(O 1 ) ∈ Orb ( Z(X 2 , (K n(2) ) n∈N ) ) sein Bildorbit unter ˆφ.Seien nun u := p ∞ . u 0 u 1 u 2 . . . ∈ X 1 und w := . . . w −3 w −2 w −1 . p ∞ ∈ X 1 zweiseitigunendlicheWege in G 1 , wobei u vorwärts-asymptotisch und w rückwärts-asymptotisch zuO 1 ist. OE betrachtet man nur solche Punkte, deren Nullkoordinate eine bei i(p) = t(p) ∈ V 1auslaufende Kante ist, da jeder beliebige, einseitig-unendliche, zu O 1 asymptotische Weg inG 1 als Teilweg von u [0,∞) bzw. w (−∞,−1] realisiert werden kann.Da γ mit den Shiftabbildungen vertauscht, gilt: γ(p ∞ ) = q ∞ ∈ Per 0 |p|(X 2 ) für einen Blockq ∈ B |p| (X 2 ), so daß p ∞ und q ∞ zwei Punkte gleicher minimaler Periodenlänge sind.Auf den endlich vielen Symbolen des Blockes q hat γ nach (CL) eine beschränkte Kodierlänge.Aufgrund der Stetigkeit von γ werden deshalb die Punkte u und w auf Punkte der Formq ∞ U −L . . . U −1 . U 0 U 1 . . . ∈ X 2 und . . . W −2 W −1 . W 0 . . . W L−1 q ∞ ∈ X 2 (mit |p| ∣ L) abgebildet.Nach Konstruktion von u gilt: inf { ˆdX1 (σ n 1 (u), z) ∣ }n→∞z ∈ O 1 −−−→ 0. Weiterhin ist dieFortsetzung der Konjugation γ stetig bezüglich der kanonischen Metriken ˆd X1 und ˆd X2 undσ n 2 ◦ γ = γ ◦ σ n 1 . Da ˆφ(O 1 ) = O 2 , geht für n → ∞ auch inf { ( ˆdX2 n σ2 (γ(u)), z ) ∣ }z ∈ O2gegen Null. Der Bildpunkt U := γ(u) ∈ X 2 ist daher vorwärts-asymptotisch zu O 2 . Folglichgibt es zu jedem n ∈ N einen Index i ∈ N, so daß der rechtsseitig-unendliche Teilweg U [i,∞)ganz in H n(2) verläuft.Entsprechend ist W := γ(w) ∈ X 2 rückwärts-asymptotisch zu O 2 und es gibt zu jedem n ∈ Neinen Index i ∈ N, so daß der linksseitig-unendliche Weg W (−∞,−i] ganz in H n(2) verläuft.Weiterhin trifft das Urbild der Menge ⋃ e∈K n(2) 0 [e] X 2 unter γ für jedes n ∈ N nur endlichviele Nullzylinder in X 1 . Zu jedem n 2 ∈ N gibt es somit ein n 1 ∈ N, so daß( ⋃ )γ −1 0[e] ⊆ ⋃e∈K n (2)2e∈K (1)n 10[e] und damit γ −1 ( ⋃)0[e] ∩ ⋃0[e] = ∅ (KH)e∈K n (2) e∈E (1)2 H n 1Sei nun n 2 ∈ N beliebig, groß genug und fest gewählt, und sei i ∈ N der minimale Index,so daß für alle l ≥ i gilt: U l ∈ E (2) Hund W −l ∈ E (2)n 2 H. Ein solcher Index existiert nachn 2Konstruktion von u und w wie oben ausgeführt.Gemäß (CL) läßt sich ein j ∈ N, j > i finden, für das gilt:γ((p ∞ u 0 . . . u i . . . u j−1 u j ] j−i ) ⊆ (q ∞ U −L . . . U 0 . . . U i−1 U i ] 0γ( i−j [w −j w −j+1 . . . w −i . . . w −1 p ∞ )) ⊆ 0 [W −i W −i+1 . . . W 0 . . . W L−1 q ∞ )und so daß zudem für alle l ≥ j gilt: u l ∈ E H(1)n 1, w −l ∈ E H(1)n 1, wobei n 1 ∈ N zu n 2 gemäß(KH) gewählt wurde. OE ist dabei n 1 ≥ n 2 .