Inaugural-Dissertation - CMM

40 Kapitel 2: Die Automorphismengruppe nicht kompakter MarkovshiftsBeweis: Der Beweis des Korollars benutzt nur die Tatsache, daß der Markovshift eine formaleZetafunktion hat und stützt sich auf die gleichen Argumente wie im Fall eines SFTs (vgl.Abschnitt 3 in [BLR]):Sei Per 0 n(X) die Menge der periodischen Punkte kleinster Periodenlänge n ∈ N des betrachtetenMarkovshifts (X, σ) und sei S Per 0n (X) die zugehörige symmetrische Gruppe. Da X eine formaleZetafunktion hat, sind mit jedem Per 0 n(X) auch alle S Per 0n (X) endlich. Die Einschränkungeines Automorphismus ϕ ∈ Aut(σ) auf eine Menge Per 0 n(X) liefert eine entsprechende Permutationauf S Per 0n (X). Dies induziert einen Homomorphismus α n : Aut(σ) → S Per 0n (X). Benutztman die Dichtheit der periodischen Punkte in X, so ist der einzige Automorphismus, dessenBild unter allen Abbildungen α n (n ∈ N) die Identität Id Per 0n (X) ist, selbst die Identität aufX. Für alle ϕ ∈ Aut(σ) mit ϕ ≠ Id X hat man also ein n ∈ N, so daß α n (ϕ) ≠ Id Per 0n (X) gilt.Dies zeigt die residuale Endlichkeit der Gruppe Aut(σ).Angenommen Aut(σ) hätte eine nichttriviale, divisionsvollständige Untergruppe G. Zuϕ ∈ G ≤ Aut(σ) mit ϕ ≠ Id X hat man eine endliche Gruppe H und einen Homomorphismusα : Aut(σ) → H mit α(ϕ) ≠ 1 H . Sei k := |G/ Kern (α) | ≤ |Aut(σ)/ Kern (α) | ≤ |H|endlich, so gilt ( φKern (α) ) k ( )= Kern (α) für alle φKern (α) ∈ G/ Kern (α) . Aufgrund der Divisionsvollständigkeitder Gruppe G, gibt es einen Automorphismus ψ ∈ G mit ψ k = ϕ. DerKern des Homomorphismus α ist ein Normalteiler in G und man erhält aus der Gleichung:Kern (α) = ( ψKern (α) ) k= ψ k Kern (α) = ϕKern (α) einen Widerspruch zu ϕ /∈ Kern (α).Die Existenz der divisionsvollständigen Gruppen Q und Z(p ∞ ) = Z[ 1 / p ]/ Z (p prim) zeigtsofort, daß nicht alle abzählbaren abelschen Gruppen in Aut(σ) auftreten.Mit Aut(σ) ist auch jede Untergruppe G ≤ Aut(σ) residual endlich. Damit kann aber G niemalseine unendliche, einfache Gruppe sein, da diese keinen nichttrivialen Homomorphismusin eine endliche Gruppe zulassen.Nicht residual endliche Untergruppen von Q/ Z sind aufgrund der residualen Endlichkeit vonAut(σ) ausgeschlossen. Residual endliche Untergruppen von Q/ Z sind isomorph zu einerdirekten Summe ⊕ p prim H p, wobei H p ≤ Z(p ∞ ) für jede Primzahl p eine endliche Gruppeist. Jede abzählbare direkte Summe endlicher Gruppen ist aber in Aut(σ) realisierbar.Diese Ergebnisse zeigen, daß bei topologischen Markovshifts mit abzählbar unendlicherZustandsmenge, die die Eigenschaft (FMDP) haben, praktisch alle aus dem SFT-Fallbekannten Einschränkungen an die Struktur der Automorphismengruppe gültig bleiben.Speziell sind alle abzählbaren Automorphismengruppen transitiver Markovshifts zugleichimmer residual endlich. Diese starke Bedingung kann also erst bei überabzählbarenAutomorphismengruppen wegfallen. Tatsächlich werden wir Klassen von topologischenMarkovshifts mit unendlich vielen periodischen Punkten einer festen Periodenlänge finden,die nicht residual endliche Automorphismengruppen haben.Zum weiteren Studium der Automorphismengruppe eines transitiven, nicht kompakten Markovshiftsist es nötig, die Permutationsgruppen abzählbar unendlicher Mengen einzuführen.