Inaugural-Dissertation - CMM

3.2 Umkodierbarkeit zu sliding-Block-Codes 81abhängen. Dies wird wie zuvor durch die Eigenschaft (CL) der Konjugation γ für n großgenug garantiert. Auf die Bestimmung der Mindestgröße des Parameters n wird an dieserStelle verzichtet (vgl. Beispiel 3.16).Wie angedeutet, werden x a,q(n) mγ(x a,q(n) m+1 (M) )) abgebildet, während xb,q (n)m(bzw. γ(x a,q(n) m)) unter ϕ (bzw. ˜ϕ) auf x a,q(n) m+1 (M)(bzw.und γ(x b,q(n) m) Fixpunkte unter ϕ bzw. ˜ϕ sind.Nach Konstruktion sind die Punkte x a,q(n) m(n ∈ N fest, m ∈ {1, 2, . . . , M}) paarweise verschieden,ebenso die Punkte x b,q(n) m. Die Bijektivität von γ erzwingt, daß für große n auch diepaarweise verschieden } sind. Wie im Bei-}| 1 ≤ m ≤ M ∪{W b,q(n) m| 1 ≤ m ≤ MBlöcke W a,q(n) mund entsprechend die Blöcke W b,q(n) mspiel 3.16 zeigt man, daß die Menge W n :={W a,q(n) mfür große n tatsächlich nur M Elemente enthält und es daher zu jedem m ∈ {1, 2, . . . , M}genau ein m ′ ∈ {1, 2, . . . , M} mit W a,q(n) m= W b,q(n) m ′geben muß. Dies sieht man wie folgt:Es bezeichne F := {e ∈ E 1 | t(e) = v} ∪ K 1 A X die endliche Menge aller am Vertex veinlaufenden Kanten vereinigt mit der ebenfalls endlichen Kantenmenge K 1 , die den TeilgraphenH 1 ”begrenzt”. Weiter seien G A Y und H A X endliche Teilmengen mit:⋃ ( ⋃ )0[f] ⊆ γ −1 0[g]0[h]f∈Fg∈G⊆ ⋃ h∈HWieder hat man Punktepaare u := l ∞ . r 0 r 1 r 2 . . . ∈ X und v := γ(u) ∈ Yw := . . . s −3 s −2 s −1 . l ∞ ∈ X und z := γ(w) ∈ Y mit folgenden Eigenschaften:sowie• v (−∞,−1] = ˜l ∞ C und z [0,∞) = D ˜l ∞ mit C, D ∈ B Ll·|l|(Y ) und ˜l ∈ B |l| (Y ) wieoben definiert (um dies einzusehen benutzt man die Stetigkeit der Konjugation γ bei−−−→ n→∞u und σ in+jn+1+|Qn| (x a,q(n) m) −−−→ n→∞w).x a,q(n) m• ∃ j ∈ N ∀ i ≥ j : r i , s −i /∈ H ∧ ∀ n ∈ N : N n ≥ j ⇒ Q n ∩ H = ∅ (kein M-fachPfad Q n mit zugehörigem N n groß genug enthält eine Kante aus H). Damit gilt auch∀ i ≥ j : v i , z −i /∈ G.Zu fest gewähltem j ergibt sich die Existenz von J ∈ N mit 9 :( [v(−∞,J])γ −1 ⊆]J[ ( [ ]u (−∞,j] ∧ γ]j ) [ ]−1 z[−J,∞) ⊆ w[−j,∞)−J−j(man nutzt die Stetigkeit der Konjugation bei v = γ(u) und z = γ(w)).Weiter garantiert die Stetigkeit von γ, daß für n groß genug alle Blöcke der MengeW n ⊆ B in+jn+1+|Q n|(Y ) auf den ersten und letzten J + 1 Koordinaten gleich v [0,J] bzw.z [−J−1,−1] sind. Wählt man ein derartiges n und definiert zu jedem Block W ∈ W n einenPunkt y W := ˜l ∞ C . W D ˜l ∞ ∈ Y , so gilty W ∈ [v (−∞,J] ] J ∩ |W |−J [z [−J,∞) ] also auch γ −1 (y W ) ∈ [u (−∞,j] ] j ∩ |W |−j [w [−j,∞) ]Eine einfache Überlegung zeigt, daß der Mittelblock γ −1 (y W ) [j,|W |−j] keine Kante aus Fenthalten kann.9 Hierbei bezeichnet[u (−∞,j] ] j := {x ∈ X | ∀ i ≤ j : x i = u i } , [v (−∞,J] ] J := {y ∈ Y | ∀ i ≤ J : y i = v i } ,−j[w [−j,∞) ] := {x ∈ X | ∀ i ≥ −j : x i = w i } , −J [z [−J,∞) ] := {y ∈ Y | ∀ i ≥ −J : y i = z i }