Vorlesungsskript

Der obige Satz gilt entsprechend für mehrdimensionale Integrale, beispielsweise gilt untergewissen Voraussetzungen:∫∫∫∫∫∫d∂ ff (x,y,z,t) dx dy dz = (x,y,z,t) dx dy dz. (8)dt BB ∂t1.21 Bemerkung. Die Parameterabhängigkeit steckt im Integranden. Hängt dagegen das Integrationsgebietvom Parameter ab, dann führt die Ableitung nach dem Parameter typischerweiseauf eine Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:∫d tf (x) dx = f (t).dt aMit der Kettenregel folgt hieraus die allgemeinere Formel∫d b(t)∫ b(t)f (x,t) dx = f (b(t),t)b ′ (t) − f (a(t),t)a ′ (t) + ∂ t f (x,t) dx.dt a(t)a(t)Die stetige Abhängigkeit eines Integrals von Parametern beruht darauf, das folgende Vertauschungeines Grenzwertes mit dem Integral gerechtfertigt ist:∫∫lim f (x,y,z,t) dV = lim f (x,y,z,t) dV = f (x,y,z,t 0 ) dV. (9)t→t 0∫Bt→t 0BDie letzte Gleichung ist die Stetigkeit von f im Parameter t, die vorausgesetzt wird.Analog beruht die Differenzierbarkeit eines Integrals nach einem Parameter t darauf, das folgendeVertauschung eines Grenzwertes mit dem Integral gerechtfertigt ist:1 ( ∫limt→t 0 t −t 0 B∫= limB∫f (x,y,z,t) dV −Bf (x,y,z,t 0 ) dV )∫f (x,y,z,t) − f (x,y,z,t 0 )dV =t→t 0 t −t 0BB∂ t f (x,y,z,t 0 ) dV.Die letzte Gleichung ist die partielle Differenzierbarkeit von f nach t, die vorausgesetzt wird.Gegeben sei eine Folge ( f k ) von über B ⊆ R 3 integrierbaren Funktionen f k : B → R, k ∈ N,die punktweise konvergiert: f (x,y,z) := lim k→∞ f k (x,y,z). Unter welchen Voraussetzungen gilt∫ ∫lim f k dV = f dV ? (10)k→∞ BBInsbesondere beinhaltet die Frage auch die nach der Integrierbarkeit von f . Die Lebesgue’scheIntegrationstheorie liefert auf diese Frage folgende positive Antworten.1.22 Satz (von der monotonen Konvergenz). Gilt f k ≤ f k+1 für alle k und konvergiert die aufder rechten Seite von (10) auftretende Folge von Integralen gegen eine reelle Zahl, dann ist fintegrierbar und es gilt (10).1.23 Satz (von der dominierten Konvergenz). Existiert g : B → [0,∞[ integrierbar, sodass | f k | ≤g für alle k gilt, dann ist f integrierbar und es gilt (10).14