Vorlesungsskript

2.3 Der Stokes’sche IntegralsatzWir betrachten berandete Flächen S im R 3 mit (stückweise glatter) Randkurve C. Die Flächeist orientiert durch eine Einheitsnormalenfeld, welches in Richtung der Oberseite zeigt. DieKurve C ist durch eine Durchlaufssinn orientiert. Die Orientierungen heißen konsistent oderverträglich, wenn die Rechtsschraubregel gilt.2.13 Satz (Stokes’scher Integralsatz). Die Fläche S und sein Rand seien konsistent orientiert.Gegeben sei ein in einer Umgebung von S definiertes C 1 -Vektorfeld F. Dann gilt∫∫rotF · dA = F · dr. (20)SCWenn S enthalten ist in der xy-Ebene, S ⊂ {z = 0} ⊂ R 3 , dann ist (20) äquivalent mit (19);denn dann haben wir⎡ ⎤ ⎡ ⎤∫∫∫ ∂ y F z − ∂ z F y 0rotF · dA = ⎣∂ z F x − ∂ x F z⎦ · ⎣0⎦ dx dySS∂ x F y − ∂ y F x 1∫∫∫∫= (∂ x F y − ∂ y F x ) dx dy = F x dx + F y dy = F · dr.SCC2.14 Beispiel. Für das Vektorfeld F = [−y,x,0] T soll das Kurvenintegral I := ∮ C F ·r längs einergegebenen Kreislinie C berechnet werden. Das Vektorfeld ist kein Gradientenfeld, denn seineRotation verschwindet nicht:⎡ ⎤0rotF = ⎣0⎦ ≠ 0.2Daher kann nicht I = 0 gefolgert werden, obwohl C eine geschlossene Kurve ist. Mit K werdedie Kreisscheibe bezeichnet, die C als ihren Rand hat, und ν sei die Einheitsnormale an K, diemit dem Durchlaufsinn von C verträglich ist. Eine Anwendung des Stokes’schen Satz liefert denWert∫I = 2ν z dA = 2ν z A(K),Kwobei ν z die z-Komponente von ν ist. Genau dann ist I = 0, wenn ν z = 0 ist, d.h. wenn dieNormale an die Kreisscheibe parallel zu einem Vektor der xy-Ebene ist. Ist C eine Kreislinie inder xy-Ebene mit Radius R, die im positiven Sinn durchlaufen wird, dann ist I = 2πR 2 > 0.Im Rahmen der Behandlung von Kurvenintegralen wurde festgestellt, dass Gradientenfelderwirbelfrei sind:F = gradϕ =⇒ rotF = 0.Es wurde dann gesagt, dass umgekehrt aus der Wirbelfreiheit die Existenz eines Potentials fürein Vektorfeld folgt, falls der Definitionsbereich des Vektorfeldes „Löcher“ hat. Diese Aussagekönnen wir dank dem Stokes’schen Integralsatz 2.13 präzisieren.26