Vorlesungsskript

3.11 Satz (Cauchy’scher Integralsatz). Sei f : G → C holomorph. Sei C eine geschlossene Kurvein G, die keinen außerhalb von G gelegenen Punkt umläuft. Dann gilt∮f (z) dz = 0.CBeispiele für geschlossene Kurven C und ∮ C z−1 dz.Eine Folgerung aus dem Cauchy’schen Integralsatz ist eine analytische Formel für die Windungszahl.3.12 Satz. Sei z 0 ∈ C, sei C eine geschlossene Kurve mit z 0 ∉ C. Dann istn(C,z 0 ) = 1 ∮(z − z 0 ) −1 dz.2π j CBeweis. Sei C 1 die durch z(t) = z 0 + e jt , 0 ≤ t ≤ 2π, gegebene geschlossene Kurve. Es istn(C 1 ,z 0 ) = 1 und ∮ C 1z −1 dz = 2π j. Dann ist C ′ :=C−n·C 1 , n := n(C,z 0 ), eine geschlossene Kurvemit n(C ′ ,z 0 ) = 0. Da f (z) = (z−z 0 ) −1 in C\{z 0 } holomorph ist, folgt aus dem Cauchy’schenIntegralsatz 3.11:∮∮∮0 = (z − z 0 ) −1 dz = (z − z 0 ) −1 dz − n (z − z 0 ) −1 dz.C ′ CC 1Durch einfaches Umstellen folgt die behauptete Formel.Der vorangehende Beweis illustriert, wie man durch Hinzufügen neuer Wege (Kurven) Windungszahlenzu Null macht. Durch Einführung von sogenannten Stichwegen kann man separateKurven zu einer zusammenhängenden Kurve verketten.3.13 Beispiel.∮C1z 2 − 1 dz = 1 ∮− 1)2 C(z −1 dz − 1 ∮(z + 1) −1 dz = π j ( n(C,1) − n(C,−1) ) .2 CDie Windungszahl n(C,z 0 ) ändert sich nicht, wenn die Kurve C etwas deformiert und deretwas bewegt wird. Hier bedeutet „etwas“, dass z 0 die Kurve C während der Deformation nichtberühren darf.Eine Menge G ⊆ C heißt ein Gebiet, wenn G offene und zusammenhängend ist; G heißteinfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene Kurve stetig innerhalb von G auf einenPunkt zusammengezogen werden kann. Konvexe und (allgemeiner) sternförmige Gebiete sindeinfach zusammenhängend.3.14 Satz (Cauchy’scher Integralsatz für einfachen Zusammenhang). Sei G ein einfach zusammenhängendesGebiet. Sei f : G → C holomorph. Sei C eine geschlossene Kurve in G. Danngilt∮f (z) dz = 0.CHier haben wir eine Bedingung an das Gebiet G gestellt, dagegen keine an die Kurve C.38