Vorlesungsskript

Diese gilt, wenn r 0 < r 0 ′ < |z−z 0| < R ′ < R. Einew ähnliche Vorgehensweise wie bei der Herleitungder Potenzreihendarstellung führt auf die Laurentreihendarstellung (32). Anders als bei derTaylorreihe, lassen sich die Koeffizienten nicht durch Ableitungen von f (z) ausdrücken, denn fist in z 0 nicht einmal definiert. Es gelten aber die Integralformelna k = 1 ∮f (w)dw2π j |w−z 0 |=r (w − z 0 ) k+1für k ∈ Z, r 0 < r < R.Die Funktion f (z) sei in der durch 0 < |z − z 0 | < R gegebenen punktierten Kreisscheibe holomorph.Seien a k die Koeffizienten der Laurentreihe (32). Die (mögliche) Singularität von f (z)in z 0 heißthebbar wenn a k = 0 für alle k < 0,Polstelle der Ordnung m > 0, wenn a −m ≠ 0 und a k = 0 für k < −m,wesentlich wenn a −k ≠ 0 für unendlich viele k ∈ N.Eine hebbare Singularität wird aufgehoben, indem man f (z 0 ) = a 0 setzt. So fortgesetzt ist fholomorph in einen Umgebung von z 0 , und die Laurentreihe um z 0 ist sogar eine Potenzreihe.3.19 Beispiele. Die drei genannten Typen von Singularitäten kommen vor:(i) sin(z)/z hat in z 0 = 0 eine hebbare Singularität.(ii) sin(1/z) hat in z 0 = 0 eine wesentliche Singularität.(iii) Die rationale Funktion f (z) = 2/z(z + 2) hat in z 0 = 0 und in z 0 = −2 einfache Polstellen.Ausgehend von der Partialbruchzerlegungf (z) =2z(z + 2) = 1 z − 1z + 2erhält man mit Hilfe der geometrischen Reihe die Laurentreihen:f (z) = 1 z − 1 2∞∑k=0f (z) = − 1z + 2 − 1 2(−1/2) k z k für 0 < |z| < 2,∞∑k=0(1/2) k (z + 2) k für 0 < |z + 2| < 2.Der Koeffizient a −1 einer Laurentreihe hat eine besondere Bedeutung, denn dieser ist der Wertdes Kurvenintegrals von f (z) für einen einmaligen Umlauf um z 0 .a −1 = 1 ∮f (w) dw. (33)2π j|w−z 0 |=rMan nennt a −1 das Residuum von f bei z 0 und schreibt dafür Res( f ,z 0 ). Im Falle der rationalenFunktion f in (iii) liest man folgende Werte für die Residuen in den Polstellen ab: Res( f ,0) = 1und Res( f ,−2) = −1. Da hier einfache Polstellen vorliegen, kann diese auch so berechnen:Res( f ,0) = limz→0z f (z) = 1,Res( f ,−2) = lim (z + 2) f (z) = −1.z→−2Dies ergibt sich durch Anwendung des folgenden Satzes, der eine Berechnungsmöglichkeit fürResiduen angibt, die nicht die (eventuell aufwändige) Bestimmung der Laurentreihe voraussetzt.42