Vorlesungsskript

Diese Überlegungen gelten entsprechend für beliebige Kreisscheiben, nicht nur die Einheitskreisscheibe.Ist f (z) in einer Kreisscheibe um z 0 holomorph, dann wird f (z) dort durch seine Taylorreiheum z 0 dargestellt:Genauer gilt:f (z) =∞∑k=0a k z k , a k = f (k) (z 0 ). (30)k!3.16 Satz. Sei f (z) holomorph in einer Kreisscheibe K := {z ; |z − z 0 | < R}. Dann konvergiertdie Taylorreihe (30) gegen f (z) für z ∈ K. Der Konvergenzradius der Taylorreihe ist ≥ R.Die bekannten Reihendarstellungen der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Funktionensind die jeweiligen Taylorreihen um den Entwicklungspunkt Null.3.17 Beispiel. Die Taylorreihe des natürlichen Logarithmus um z 0 = 1 konvergiertln(z) =∞∑k=1Der Konvergenzradius dieser Potenzreihe ist gleich 1.(−1) k−1(z − 1) k für |z − 1| < 1. (31)k3.18 Satz. Eine Funktion f : G → C ist genau dann in G holomorph, wenn sie lokal durchPotenzreihen dargestellt wird.Lokal heißt, dass jeder Punkt z 0 ∈ G Mittelpunkt einer Kreisscheibe ist, in der f (z) durch einekonvergente Potenzreihe um den Entwicklungspunkt z 0 dargestellt wird.3.8 Pole und LaurentreihenEs gibt viele Funktionen, die nicht überall holomorph sind, sondern nur außerhalb isoliertersingulärer Stellen. Beispiele sind rationale Funktionen oder die Funktionen e −1/z , sin(z)/z.Ist z 0 eine singuläre Stelle, die isoliert ist in dem Sinne, dass in einer kleinen Umgebung von z 0keine weitere singuläre Stelle von f (z) liegt, dann besitzt f (z) in einer punktierten Kreisscheibeeine Reihendarstellung, die die Potenzreihendarstellung verallgemeinert:f (z) =∞∑k=−∞a k (z − z 0 ) k wenn r 0 < |z − z 0 | < R. (32)Diese Reihendarstellung heißt die Laurentreihe von f (z) im Kreisring mit Innenradius r 0 ≥ 0und Außenradius R > r 0 . Sie gilt, wenn f (z) in diesem Kreisring holomorph ist. Der Fall einerisolierten Singularität ist der Spezialfall r 0 = 0. Reihen wie in (32) liest man wie folgt:∞∑k=−∞b k :=Ein Beweis von (32) basiert auf folgender Anwendung der Cauchy’schen Integralformel:f (z) = 1 ∮f (w)2π j w − z dw − 1 ∮f (w)2π j w − z dw.|w−z 0 |=R ′∞∑k=0b k +∞∑k=1b −k .|w−z 0 |=r ′ 041