Vorlesungsskript

z(ii) ∮ C (z+1)(z+2)dz = 2π j(2n(C − 2) − n(C,−1)), denn die Residuen bei −1 bzw. bei −2 sind−1 bzw. +2.Die Cauchy’sche Integralformel ist auch ein Spezialfall des Residuensatzes, denn∮Cf (w)dw = n(C,z)2π j Res(w ↦→ f (w)/(w − z),z)w − z= n(C,z)2π j lim f (w) = n(C,z)2π j f (z).w→zWenn f keine Singularitäten in G hat, ist der Residuensatz gerade die Umlaufzahlversion desCauchy’schen Integralsatzes. Die geschlossene KurveC − ∑ n(C, p)C p,ε , C p,ε : z(t) = p + εe jt , 0 ≤ t ≤ 2π,p∈Gumläuft keine Singularität von f und keinen Punkt außerhalb von G, wenn der Radius ε > 0hinreichend klein ist. Daher ist die Formel (36) des Residuensatzes eine Folgerung aus demCauchy’schen Integralsatz:∮Cf (z) dz = ∑ n(C, p)p∈G∮|z−p|=εf (z) dz = ∑ n(C, p)2π j Res( f , p).p∈GHier wurde die in (33) ausgedrückte Bedeutung des Residuums a −1 benutzt.Wir kommen nun zu einer bemerkenswerten Anwendung des Residuensatzes, dem Residuenkalkülzur Berechnung reeller Integrale wie beispielsweise∫ ∞−∞11 + x 2 dx oder ∫ ∞−∞11 + x 8 dx.3.23 Satz. Sei f holomorph in C mit Ausnahme endlich vieler Singularitäten z 1 ,...,z N , die nichtauf der reellen Achse liegen. Ferner gelte mit C > 0 und r > 0 eine Abscätzung| f (z)| ≤ C|z| −2 für |z| ≥ r, Imz ≥ 0.Dann ist∫ ∞−∞f (x) dx = 2π j∑Imz k >0Res( f ,z k ). (37)3.24 Beispiel. Die Funktion f (z) = 1/(1 + z 2 ) hat als einzige Singularitäten die einfachen Polstellen± j undEine Anwendung des Satzes ergibt∫ ∞Res( f , j) = limz→ j(z − j)/(z 2 + 1) = limz→ j(z + j) −1 = (2 j) −1 .−∞11 + x 2 dx = 2π j(2 j)−1 = π.In diesem Fall hätten wir das Integral auch mit Hilfe der Stammfunktion arctan(x) berechnenkönnen.44