Vorlesungsskript

Funktionen i.A. nicht hat. Anwendungen findet die Funktionentheorie u.A. bei der Berechnungbestimmter Integrale (Residuenkalkül) und bei der Inversion der Laplace-Transformation, welchein einem späteren Kapitel behandelt wird.3.1 Elementare Funktionen im KomplexenDas Rechnen mit komplexen Zahlen, Folgen, Reihen und Grenzwerten ist uns bekannt. Im Folgendenbezeichnet, wenn nichts anderes gesagt wird, G eine nichtleere offene Teilmenge von C.Wir betrachten Funktionen f : G → C. Sie ist stetig in G, wenn für jede in G konvergente Folge(z n ) n gilt:lim k→∞ f (z k ) = f (z) für z = lim k→∞ z k .Ein Polynom vom Grade n ist eine Funktionp : C → C, p(z) = a n z n + a n−1 z n−1 + ··· + a 1 z + a 0 ,mit komplexen Koeffizienten a k . Der führende Koeffizient a n ist ungleich Null. Solch ein Polynomkann höchstens n verschiedene Nullstellen haben, und in dem Falle liegt eine vollständigeLinearfaktorzerlegung vor:p(z) = a n (z − z 1 )···(z − z n ), (22)wobei z 0 ,...,z n ∈ C die Nullstellen von p(z) sind. Tatsächlich gilt (22) für jedes Polynom vonGrade n; dies ist die Aussage des Fundamentalsatzes der Algebra. Im Allgemeinen können Nullstellenmehrfach auftreten. Einen Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra werden wir späterauf der Basis funktionentheoretischer Sätze finden. Für reelle Polynome ist im Allgemeinenkeine vollständige Linearfaktorzerlegung in reelle Linearfaktoren möglich. Polynome sind stetigeFunktionen.Quotienten von Polynomen heißen rationale Funktionen, sie sind überall definiert mit Ausnahmeder Nullstellen des Nennerpolynoms:r : G → C;r(z) = q(z)p(z) , G = C \ p−1 (0).Ist der Grad des Zählerpolynoms q größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms, dannführt eine Polynomdivision auf eine Darstellung von r als Summe aus einem Polynom und einerecht gebrochenen rationalen Funktion. Eine rationale Funktion heißt echt gebrochen, wenn derZählergrad echt kleiner ist als der Nennergrad. Ist r(z) echt gebrochen, dann kann man r(z) inPartialbrüche zerlegen; beispielsweiser(z) = A 1+ ... +A n,z − z 1 z − z nwenn die Nullstellen z k des Nennerpolynoms einfach sind. Ein Beispiel ist2z 2 + 1 =jz + j −jz − j .In den Nullstellen des Nennerpolynoms liegen Polstellen für r vor, wenn sich die entsprechendenLinearfaktoren nicht gegen solche des Zählers kürzen lassen.29