Vorlesungsskript

2.10 Beispiel (Auftriebskraft). Ein Körper K mit Oberfläche S sei ganz in Wasser eingetaucht.Die Wasseroberfläche ist durch die Gleichung z = 0 gegeben, und dementsprechend gilt z < 0unter Wasser. Der Wasserdruck P steigt linear mit der Tiefe an: P = −γz mit einer Konstantenγ > 0. In jedem Punkt von S bezeichne ϕ den Winkel, der zwischen der äußeren Einheitsnormaleν und der negativen z-Richtung −e z eingeschlossen wird. Die Vertikalkomponente F z dergesamten auf K wirkenden Auftriebskraft ist das Integral über S der Vertikalkomponenten derDruckkräfte:∫F z =∫=SK∫Pcosϕ dA =div(γze z ) dV =∫(−γz)(−e z · ν) dA =S∫Kγ dV = γV (K).Sγze z · dADie vierte Gleichung folgt aus dem Gauß’schen Integralsatz. Der Auftrieb F z ist also, unabhängigvon der Gestalt von K, proportional zum (Verdrängungs-)Volumen des Körpers K.2.11 Beispiel (Kontinuitätsgleichung). Um die Strömung einer Flüssigkeit (oder eines Gases)zu beschreiben, stellt man Massebilanzen auf. Bezeichnet ρ = ρ(x,y,z,t) > 0 die Massendichteam Ort (x,y,z) zu Zeit t, dann wird die Änderung der Gesamtmasse (pro Zeiteinheit) in einemTeilvolumen K der Flüssigkeit gegeben durchddt∫K∫ρ dV =K∂ρ∂tdV. (16)Die Gleichheit folgt wegen der Differenzierbarkeit des Integrals nach dem Parameter t. Bezeichnetv = v(x,y,z,t) das Geschwindigkeitsfeld der Strömung, dann ist der Massenfluss (proZeiteinheit) durch die Oberfläche S von K gegeben durch∫ρv · dA. (17)SWir nehmen an, dass S durch die aus K herauszeigende Normale orientiert ist. Dann ist (17)positiv, wenn Masse aus K herausfließt. Das physikalische Gesetz von Erhaltung der Massewird durch folgende Gleichung ausgedrückt:ddt∫K∫ρ dV = −S∫ρv · dA + Q dV.KHier ist Q = Q(x,y,z,t) eine Funktion, die Zu- und Abflüsse in K darstellt. Mit dem Gauß’schenIntegralsatz und (16) erhält man die Massenbilanz in integraler Form:∫(∂ t ρ + div(ρv) − Q) dV = 0.KDie Gleichung muss für alle denkbaren Teilvolumina K gelten. Daher ist der Integrand Null:∂ t ρ + div(ρv) = Q. (18)Diese Gleichung heißt Kontinuitätsgleichung. Sie ist eine (partielle) Differentialgleichung. Inkontinuumsmechanischen Anwendungen wird sie ergänzt durch Gleichungen, welche typischerweisematerialspezifische Beziehungen ausdrücken. Wichtig ist der Spezialfall stationärer Strömungen,der dadurch charakterisiert ist, dass ρ, v und Q nicht explizit von der Zeit t abhängen.23