Vorlesungsskript

3.2 Satz. Die Funktion f : G → C ist genau dann holomorph, wenn die reellwertigen Funktionenu(x,y) = Re f (x + jy) und v(x,y) = Im f (x + jy) stetig partiell differenzierbar sind und dieCauchy–Riemann’schen Differentialgleichungenin G gelten. Außerdem gilt dann f ′ = ∂ x u + j∂ x v.∂ x u = ∂ y v, ∂ x v = −∂ y u (24)Die Multiplikation z ↦→ γz mit einer komplexen Zahl γ = α + jβ ist die R-lineare Abbildungvon C = R 2 in sich, durch die reelle 2 × 2-Matrix[ ] α −ββαdargestellt wird.Beweis. Ist f in z = x + jy komplex differenzierbar, dann ist die Ableitung f ′ (z) auf die beidenfolgenden Weisen als Grenzwert darstellbar, wobei das in den Formeln auftretende h reell undungleich Null ist:( )f ′ f (z + h) − f (z) u(x + h,y) − u(x,y) v(x + h,y) − v(x,y)(z) = lim= lim+ jh→0 hh→0 hh= ∂ x u(x,y) + j∂ x v(x,y),( )f ′ f (z + jh) − f (z) u(x,y + h) − u(x,y) v(x,y + h) − v(x,y + h)(z) = lim= lim+ jh→0 jhh→0 jhjh= ∂ y v(x,y) − j∂ y u(x,y).Ein Vergleich beider Ausdrücke zeigt, dass (24) gilt.Seien u und v jetzt C 1 -Funktionen. Sind die CR-Differentialgleichungen (24) erfüllt, dannstellt die Jacobi-Matrix [∂x u(x 0 ,y 0 )]∂ y u(x 0 ,y 0 )∂ x v(x 0 ,y 0 ) ∂ y v(x 0 ,y 0 )bei z 0 = x 0 + jy 0 die Multiplikation mit der komplexen Zahldar. Die reelle Differenzierbarkeit impliziertγ := ∂ x u(x 0 ,y 0 ) + j∂ x v(x 0 ,y 0 )f (z) = f (z 0 ) + γ(z − z 0 ) + o(|z − z 0 | 2 ) für z → z 0 .(Vgl. 10.1 Satz über die Lineare Approximation in der Höheren Mathematik B.) Es folgt diekomplexe Differenzierbarkeit (23) mit f ′ (z 0 ) = γ.3.3 Beispiele. Überprüfen komplexe Funktionen auf Holomorphie und berechnen gegebenenfallsdie komplexen Ableitungen.(i) Für f (z) = z 2 ist u(x,y) = x 2 − y 2 und v(x,y) = 2xy. Die CR-Differentialgleichungen sinderfüllt und f ′ (z) = ∂ x (x 2 − y 2 ) + j∂ y 2xy = 2z.32