Vorlesungsskript

Dies folgt aus dem Cauchy’schen Integralsatz, denn die Differenz der Kreislinien hat WindungszahlNull um die Polstelle w = z des Integranden. Weiter haben wir∮2π j f (z) =|w−z|=εf (z)w − z dw = ∮|w−z|=εDen Rest schätzen wir mit Hilfe von (27) ab:|R ε (z)| ≤ 2πε · max|w−z|=ε∮f (w)w − z dw − R ε(z), R ε (z) :=|w−z|=ε∣f (w) − f (z)∣ → 2π0 · | f ′ (z)| = 0w − zf (w) − f (z)w − zfür ε → 0. Hieraus folgt (28).Ein Beispiel: ∮ |z−1|=1 ez /(z − 1) dz = 2π je.An Stelle von Kreislinien |w−z 0 | = r können in (28) beliebige geschlossene Kurven C auftreten,die nicht durch z verlaufen. Dann ist die linke Seite aber noch mit der Windungszahl n(C,z)zu multiplizieren.Die rechte Seite der Integralformel (28) kann beliebig oft nach z differenziert werden. Jedeholomorphe Funktion ist folglich beliebig oft differenzierbar. Für die höheren Ableitungen giltauch eine Integralformel:f (n) (z)n!3.7 Potenzreihendarstellungdw.= 1 ∮f (w)dw. (29)2π j |w−z 0 |=r (w − z) n+1Wir wissen, dass eine Potenzreihe in ihrem Konvergenzkreis eine holomorphe Funktion darstellt.Umgekehrt gilt, dass sich jede holomorphe Funktion durch Potenzreihen darstellen lässt.Ist beispielsweise f (z) in einer Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe holomorph, dannhaben wir für |z| < 1 folgende Potenzreihendarstellung:f (z) = 1 ∮2π j= 1 ∮2π j==∞∑k=0∞∑k=0|w|=1|w|=1∮z k 12π ja k z k .f (w)w − z dw = 12π jf (w) 1 w|w|=1∞∑k=0∮|w|=1(z/w) k dwf (w)w −k−1 dwf (w) 1 1w 1 − z/w dwHier wurden (28), die Formel für die Summe einer geometrischen Reihe und die Vertauschbarkeitvon Summe und Integral (wegen gleichmäßiger Konvergenz) benutzt. Wegen (29) sind dieKoeffizienten der Potenzreihe wie folgt gegeben:a k = 1 ∮2π j |w|=1f (w)w −k−1 dw = f (k) (0).k!40