Vorlesungsskript

2.3 Bemerkung. Ist S ein Gebiet D in der xy-Ebene, d.h. S = {(x,y,0) ; (x,y) ∈ D}, dann istein Flächenintegral über S nichts anderes als das zweidimensionale Integral über D: ∫ S g dA =∫∫D g(x,y) dx dy. In diesem Fall ist das Normalenfeld n nämlich das Einheitsfeld [0,0,1]T .Bei der Aufstellung von Massen- und Energiebilanzen treten Integrale von Vektorfeldern Fauf, die Massen- oder Energieflüsse darstellen. Diese Integrale heißen Flächenintegrale zweiterArt. Sie haben die Gestalt∫S∫F · dA =S∫∫F · ν dA = F(r(u,v)) · n(u,v) du dv. (14)DMan nennt ν = |n| −1 n das Einheitsnormalenfeld an S.Ein Flächenintegral ist ein bestimmtes Integral, sein Wert ist eine reelle Zahl. Eine möglicheAnwendung von (14) ist die Berechnung der Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch Sströmt, wenn F das Geschwindigkeitsfeld der Strömung ist.2.4 Beispiele. Sei S = S 1 ∩ {z > 0} die obere Halbsphäre mit Mittelpunkt im Urspung undRadius = 1. Ihre Parametrisierung in Kugelkoordinaten lautet:⎡ ⎤cosϕ cosϑS : r(ϕ,ϑ) = ⎣sinϕ cosϑ ⎦, −π < ϕ < π, 0 < ϑ < π/2.sinϑDas Normalenfeld wurde bereits berechnet: n = cosϑ r. Es zeigt ins Äußere der Einheitskugel.Offenbar ist ν = r. Wir berechnen I = ∫ S F · dA für verschiedene Vektorfelder F.(i) Sei F(r) = [F x ,F y ,F z ] T ein konstantes Vektorfeld. Dann gilt⎡ ⎤ ⎡ ⎤∫ π/2 ∫ π F x cosϕ cosϑI = ⎣F y⎦ · ⎣sinϕ cosϑ ⎦cosϑ dϕ dϑ0 −πF z sinϑ∫ π/2= 2πF z sinϑ cosϑ dϑ = πF z .0Das Ergebnis ist plausibel: Der Gesamtfluss durch der Halbsphäre ist genau dann Null,wenn das Vektorfeld parallel zur Äquatorebene zeigt.(ii) Für das radiale Vektorfeld F(r) = r ergibt sichI =∫ π/2 ∫ π0−π|r| 2 cosϑ dϕ dϑ =∫ π/2 ∫ π0−πcosϑ dϕ dϑ = 2π.Unsere Definitionen von Flächenintegralen gehen immer einer gewählten Parametrisierungaus. Solche Parametrisierungen sind nicht eindeutig durch die Fläche bestimmt. Es wäre sichernicht zu akzeptieren, wenn der Wert eines Flächenintegrals von der speziellen Wahl der Parametrisierungabhinge.2.5 Satz. Ein Flächenintegral hängt nicht ab von der Wahl einer Parametrisierung, sofern diesedie Orientierung der Fläche nicht ändert. Flächenintegrale erster Art sind sogar unabhängigvon der Orientierung.19