Vorlesungsskript

1.1 Satz (Satz von der iterierten Integration). Ist B ein Normalgebiet wie in (2) und ist f : B → Rstetig, dann gilt∫ ∫ b( ∫ h(x))f dA = f (x,y) dy dx. (3)Bag(x)Durch diesen Satz wird eine zweidimensionale Integration auf zwei eindimensionale Integrationenzurückgeführt. Man spricht auch von Doppelintegralen und schreibt∫ ∫∫f dA = f (x,y) dy dx.BB1.2 Beispiel. Sei B = {(x,y) ; 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ e x }. Dann ist∫B2xy dA ==∫ 1 ∫ e x0∫ 1Der Flächeninhalt eines Bereichs B ist∫A(B) =0x2xy dy dxx(e 2x − x 2 ) dx = ··· = e 2 /4.B1 dA. (4)Für B wie in (2) erhält man, wie erwartet, A(B) = ∫ ba (h(x) − g(x)) dx. Aus der Positivität desIntegrals erhält man die einfache aber nützliche Abschätzung:∫m ≤ f (x,y) ≤ M =⇒ mA(B) ≤ f dA ≤ M A(B)AEinen Bereich der GestaltB = {(x,y) ; a ≤ y ≤ b, g(y) ≤ x ≤ h(y)}nennt man ein Normalgebiet bezüglich der y-Achse. Hierfür hat der Satz von der iterierten Integrationdie Form:∫ ∫ b( ∫ h(y))f dA = f (x,y) dx dy.Bag(y)Ist B sowohl bezüglich der x-Achse als auch bezüglich der y-Achse ein Normalgebiet, dann kanndie Integrationsreihenfolge beliebig gewählt werden:∫ ∫∫∫∫f dA = f (x,y) dy dx = f (x,y) dx dy.BBBEine Anwendung dieser Formel erfordert Sorgfalt, denn die Integrationsgrenzen der eindimensionalenIntegrale müssen korrekt festgelegt werden.Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge gilt allgemeiner für beliebige IntegrationsbereicheB. Für eine praktische Berechnung von Integralen über B ist es nützlich, B in Normalbereichezu zerlegen.4