Vorlesungsskript

Das gesuchte Ergebnis ist∫ ∞01(1 + x) √ dx = π.x3.10 Einige Sätze der FunktionentheorieAus den grundlegenden Sätzen über holomorphe Funktionen wie der Cauchy’schen Integralformelfolgen besondere Eigenschaften, von denen hier weitere behandelt werden.Sei f : G → C holomorph in einem Gebiet G ⊆ C. Eine Stelle z 0 ∈ G mit f (z 0 ) = 0 heißteine Nullstelle von f . Sie heißt einfach, wenn f ′ (z 0 ) ≠ 0. Gilt für eine natürliche Zahl m dieBedingungf (z 0 ) = f ′ (z 0 ) = ... = f (m−1) (z 0 ) = 0, f (m) (z 0 ) ≠ 0,dann sagt man, dass z 0 eine Nullstelle der Vielfachheit m ist. Gibt es solch ein m nicht, wennalso f k (z 0 ) = 0 für k = 0,1,2,3,... gilt, dann ist z 0 eine Nullstelle unendlicher Vielfachheit.Die e-Funktion hat keine Nullstellen, die Nullstellen von Sinus und Kosinus sind einfach. DieFunktion f (z) = (z − 5) 3 hat eine dreifache Nullstelle bei 5.3.28 Satz. Ist z 0 eine Nullstelle von f mit Vielfachheit m ∈ N, dann gilt in einer Umgebung vonz 0 gilt eine Faktorisierungf (z) = (z − z 0 ) m g(z)mit einer holomorphen Funktion g, g(z 0 ) ≠ 0. Ist z 0 eine Nullstelle unendlicher Vielfachheit,dann ist f (z) = 0 für alle z.Die Taylorkoeffizienten bei z 0 sind a k = f (k) (z 0 )/k!. Aus der Taylorreihendarstellungf (z) =∞∑k=0a k (z − z 0 ) k =∞∑k=ma k (z − z 0 ) k = (z − z 0 ) m ∑∞ a m+l (z − z 0 ) ll=0folgt mit g(z) = ∑ ∞ k=0 a m+k(z − z 0 ) k wegen g(z 0 ) = a m = f (m) (z 0 )/m! ≠ 0 die erste Behauptungdes Satzes. Im Falle unendlicher Vielfachheit stellt die Taylorreihe die Nullfunktion dar, unddaher ist f (z) = 0 für alle z in einer Umgebung von z 0 . Weil G zusammenhängend ist, ist f (z) = 0sogar für alle z ∈ G; den Beweis hierfür geben wir nicht, er benutzt topologische Argumente.3.3 Folgerung. Ist f nicht identisch Null, dann sind alle Nullstellen von f isoliert, d.h. in einergenügend kleinen Umgebung einer gegebenen Nullstelle befindet sich keine weitere Nullstelle.Man drückt diese Tatsache meist so aus:3.4 Folgerung (Identitätssatz). Stimmen zwei in G definierte holomorphe Funktionen f und gauf einer Menge N ⊂ G überein, die einen Häufungspunkt in G hat, dann sind f und g gleich.Ein Häufungspunkt w von N ist Grenzwert w = lim n→∞ einer Folge (z n ) n in N mit z n ≠ w füralle n.3.5 Folgerung. Eine Funktion g : R → C kann – wenn überhaupt – nur auf eine Weise holomorphfortgesetzt werden.47