Vorlesungsskript

2.2 Beispiele. Wir berechnen Flächeninhalte gemäß obiger Definition.(i) Wegen |n(u,v)| 2 = 1+(∂ u f ) 2 +(∂ v f ) 2 ist der Flächeninhalt des Graphen G f von f : D → Rwie folgt gegeben:∫∫ √A(G f ) = 1 + (∂ x f ) 2 + (∂ y f ) 2 dx dy.D(ii) Unter Verwendung von Kugelkoordinaten⎡⎤Rcosϕ cosϑr(ϕ,ϑ) := ⎣Rsinϕ cosϑ ⎦.Rsinϑlautet der Normalenvektor an eine Sphäre S R mit Radius R:⎡⎤ ⎡⎤−Rsinϕ cosϑ −Rcosϕ sinϑn(ϕ,ϑ) = ⎣ Rcosϕ cosϑ ⎦ × ⎣−Rsinϕ sinϑ ⎦ = Rcosϑ r(ϕ,ϑ),0RcosϑSomit ist |n(ϕ,ϑ)| = Rcosϑ |r(ϕ,ϑ)| = R 2 cosϑ. Der Flächeninhalt der Sphäre ist daherA(S R ) =∫ π/2 ∫ 2π−π/20R 2 cosϑ dϕ dϑ = ··· = 4πR 2 .(iii) Gesucht ist der Flächeninhalt einer viereckigen Fläche S auf der Oberfläche einer Kugel mitRadius R > 0. Die Fläche wird eingeschlossen von den Meridianen (Großkreise, die durchbeide Pole verlaufen) mit den Längengraden ϕ 1 und ϕ 2 und den Breitenkreisen mit denWinkeln ϑ 1 und ϑ 2 . Wir nehmen −π < ϕ 1 < ϕ 2 ≤ π und −π/2 < ϑ 1 < ϑ 2 < π/2 an. Wirverwenden Kugelkoordinaten wir im vorigen Beispiel und berechnen den Flächeninhaltwie folgt:A(S) =∫ ϑ2∫ ϕ2ϑ 1ϕ 1R 2 cosϑ dϕ dϑ = R 2 (ϕ 2 − ϕ 1 )(sinϑ 2 − sinϑ 1 ).Es liege eine Fläche S in Parameterdarstellung (11) vor. Die ParametrisierungsabbildungD → R 3 , (u,v) ↦→ r(u,v) ist stetig differenzierbar (= von der Klasse C 1 ), injektiv, und das Normalenvektorfeldist nirgends Null (siehe (12)). Integration des infinitesimalen FlächenelementsdA = |n(u,v)| du dv ergibt den Flächeninhalt (13) von S. Sei g : S → R eine stetige Funktion;d.h. g ist die Einschränkung auf S einer in einer Umgebung von S stetigen Funktion. Wenn dasIntegral∫ ∫∫g dA = g(r(u,v))|n(u,v)| du dvSDexistiert, dann heißt es das Integral von g über S. Man spricht hier von einem Flächenintegralerster Art. Offenbar ist ∫ S 1 dA der Flächeninhalt von S. Andere Anwendungen solcher Integralesind beispielsweise die Bestimmung der elektrostatischen Gesamtladung in einer dünnen Schalebei gegebener Ladungsdichte oder die Berechnung des Schwerpunktes eines Bleches. So ist diex-Koordinate x s eines homogenen Bleches S durch die Formelgegeben.x s = 1A(S)∫Sx dA18