Vorlesungsskript

Die komplexe Exponentialfunktion ist über die Exponentialreihe definiert:exp : C → C,exp(z) = ∑ ∞ k=0 zk /k!.Die Reihe konvergiert für alle z ∈ C, was man mit Hilfe des Quotientenkriteriums einsieht.Die Exponentialfunktion ist in C stetig. Wegen exp(0) = 1 und exp(z + w) = exp(z)exp(w)ist die Potenzschreibweise e z = exp(z) mit der Euler’schen Zahl e = exp(1) = 2,7... sinnvollund gebräuchlich. Für rein imaginäres Argument in der Exponentialfunktion gilt die Euler’scheFormele jy = cos(y) + j sin(y), y ∈ R.Dies bedeutet, dass t ↦→ e jt die Einheitskreislinie periodisch mit der Periode 2π durchläuft. Diekomplexe Exponentialfunktion hat die Periode 2π j.Die komplexe Sinus- und die komplexe Kosinusfunktionsin(z) = 1 ( ) 1( )exp( jz) − exp(− jz) , cos(z) = exp( jz) + exp(− jz)2 j2sind Funktionen C → C, ebenso die entsprechenden komplexen Hyperbelfunktionen:sinh(z) = 1 ( ) 1( )exp(z) − exp(−z) , cosh(z) = exp(z) + exp(−z) .22Damit besteht zwischen den trigonometrischen Funktionen und den Hyperbelfunktionen folgendereinfacher Zusammenhangj sin(z) = sinh( jz),cos(z) = cosh( jz).Die Exponentialfunktion bildet einen zur reellen Achse parallelen Streifen der Breite 2π bijektivab auf die längs der negativen reellen Achse geschlitzte komplexe Ebene:exp : S → C − , S = {z ; |Imz| < π}, C − = C\] − ∞,0].Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmusln : C − → S,ln(z) = ln|z| + j arg(z),wobei arg(z) ∈] − π,π[ der Winkel von z ist. In der Tat ist exp◦ln die Identität auf C − , dennexp(ln|z| + j arg(z)) = e ln|z| e j arg(z) = |z|e j arg(z) = z.Wenn man zu ln(z) ein ganzzahliges Vielfaches von 2π j addiert, erhält man ebenfalls eine Umkehrfunktionder Exponentialfunktion auf einem Streifen, der entsprechend gegenüber S verschobenist. Der hier definierte natürliche Logarithmus ist auf der positiven reellen Achse reellwertig;man nennt ihn den Hauptzweig des Logarithmus. Der Logarithmus ist stetig in dergeschlitzten Ebene, kann aber wegen einer Sprungunstetigkeit über die negative reelle Achsenicht stetige in der ganzen komplexen Ebene sein.Potenzen komplexer Zahlen definiert man mit Hilfe des Logarithmus:Beispiel:z w = exp(wln(z)) für z ∈ C − und w ∈ C.j j = exp( j ln( j)) = exp( j jπ/2) = e −π/2 .Die obige Definition von Potenzen stimmt mit der üblichen (Produkt- und Kehrwertbildung)überein, wenn w ganzzahlig ist und z ≠ 0.30