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3.29 Satz (Liouville). Sei f : C → C holomorph und beschränkt. Dann ist f konstant.Die Funktion f (z) = 1/z ist holomorph und beschränkt außerhalb einer Kreisscheibe; dieVoraussetzung, dass f in der ganzen komplexen Ebene holomorph und beschränkt ist, kann alsonicht ohne Weiteres fallen gelassen werden.Wir beweisen den Satz von Liouville. Die Taylorreihef (z) =∞∑k=0a k z k , a k = f (k) (0k!= 1 ∮f (w)dw,2π j |w|=R wk+1 konvergiert für alle z ∈ C, hat also den Konvergenzradius ∞, denn f in ganz C holomorph. Da fbeschränkt ist, gibt es eine Zahl M > 0, sodass | f (w)| ≤ M für alle w ∈ C. Mit der Integralabschätzung(27) erhalten wir|a k | = 1∣ ∮ f (w)2π |w|=R w k+1 dw∣ ∣ ≤ 1 | f (w)|2πR max2π |w|=R |w k+1 | ≤ MR−k .Für R → ∞ folgt a k = 0, wenn k ≥ 1. Folglich ist f (z) = a 0 , also konstant.3.30 Satz (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes nichtkonstante Polynom besitzt eine Nullstelle.Polynome zerfallen über C vollständig in Linearfaktoren.Angenommen, p ist ein nullstellenfreies Polynom. Dann ist f : C → C, f (z) := 1/p(z) überalldefiniert und holomorph. Mit einer geeigneten unteren Abschätzung für |p(z)| zeigt man, dass fbeschränkt ist. Nach dem Satz von Liouville ist f konstant, also ist auch p konstant. Dies beweistdie erste Aussage des Fundamentalsatzes. Ist z 1 eine Nullstelle eines Polynom p(z), dann gehtdie Division durch den Linearfaktor z − z 1 , und man erhältp(z) = (z − z 1 )q 1 (z) = (z − z 1 )(z − z 2 )q 2 (z) = ... = a(z − z 0 )(z − z 1 )···(z − z n ),wenn p den Grad n hat, a ≠ 0.48
Literatur[Bär05] G. Bärwolff, Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure, SpektrumAkademischer Verlag, München, 2005.[MV01] K. Meyberg und P. Vachenauer, Höhere Mathematik 1, Springer, Berlin, 2001.[RW99] L. Rade und B. Westergren, Springers mathematische Formeln, Springer, Berlin, 1999.49
Seite 1 und 2: Höhere Mathematik C für Elektrote
Seite 3 und 4: Man wählt Punkte (x j ,y j ) ∈ B
Seite 5 und 6: 1.3 Beispiel. Die Menge B aus Beisp
Seite 7 und 8: 1.7 Beispiel. Das Volumen des Durch
Seite 9 und 10: wobei x(u,v) = au + cbv, y(v) = bv
Seite 11 und 12: 1.14 Beispiel. Wir berechnen das Vo
Seite 13 und 14: 1.18 Beispiel. Es sei ein rotations
Seite 15 und 16: Die Formel (8) und der Satz 1.19 le
Seite 17 und 18: Wie im Falle von Kurven, benötigt
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Seite 21 und 22: Möchte man von S zur entgegengeset
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Seite 26 und 27: 2.3 Der Stokes’sche IntegralsatzW
Seite 28 und 29: Die zweite Gleichung ist eine Anwen
Seite 30 und 31: Die komplexe Exponentialfunktion is
Seite 32 und 33: 3.2 Satz. Die Funktion f : G → C
Seite 34 und 35: 3.3 PotenzreihenSeien gegeben z 0
Seite 36 und 37: 3.8 Satz. Sei f : G → C holomorph
Seite 38 und 39: 3.11 Satz (Cauchy’scher Integrals
Seite 40 und 41: Dies folgt aus dem Cauchy’schen I
Seite 42 und 43: Diese gilt, wenn r 0 < r 0 ′ < |z
Seite 44 und 45: z(ii) ∮ C (z+1)(z+2)dz = 2π j(2n
Seite 46 und 47: 3.26 Beispiel. Mit f (z) = (z 2 + 4

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