Vorlesungsskript

Für nichtholomorphe Funktionen ist die Aussage des Cauchy’schen Integralsatzes i.A. nichtgültig. Ist C die Einheitskreislinie, dann gilt:∮C∫ 2π∫ 2π¯z dz = e jt je jt dt = j dt = 2π j.00Wir hatten bereits eingesehen, dass z ↦→ ¯z nicht holomorph ist.3.5 Allgemeiner Cauchy’scher IntegralsatzDie im vorigen Abschnitt behandelte Basisversion des Cauchy’schen Integralsatzes zeigt dasVerschwinden des Integrals holomorpher Funktionen längs spezieller geschlossener Kurven,nämlich solchen, die Randkurven von Gauß-Green-Bereichen sind. Wir wollen allgemeineregeschlossene Kurven zulassen. Das Beispiel∮z −1 dz = 2π j|z|=1zeigt, dass Integrale holomorpher Funktionen längs geschlossener Kurven nicht immer Nullsind. Im ebengenannten Beispiel liegt dies daran, dass die Kurve (positive orientierte Einheitskreislinie)die Polstelle des Integranden einmal umläuft.Für eine allgemeine Fassung des Cauchy’schen Integralsatz benötigen wir das Konzept einerWindungs- oder Umlaufzahl. Ist C eine geschlossene Kurve in C und z 0 ∈ C ein Punkt, der nichtauf der Kurve liegt, dann ist die Windungszahl n(C,z 0 ) eine ganze Zahl, die angibt wie oft C denPunkt z 0 umrundet. Man kann die Windungzahl (für eine parametrisierte Kurve) mit Hilfe derWinkel ϕ(t) der Kurvenpunkte z(t) definieren:z(t) − z 0 = r(t)e jϕ(t) .Ist z(a) = z(b), d.h. Anfangs- und Endpunkt der Kurve sind gleich, dann muss die Winkeldifferenzϕ(b) − ϕ(a) ein ganzzahliges Vielfaches von 2π sein. Wir definieren dannn(C,z 0 ) =ϕ(b) − ϕ(a).2πDiese Definition setzt zwingend voraus, dass der Winkel ϕ(t) eine stetige Funktion des Parameterst ∈ [a,b] ist.Die Windungszahl einer Kreislinie um ihren Mittelpunkt ist 1, wenn sie gegen den Uhrzeigersinndurchlaufen wird, und −1, wenn sie im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.Eine andere Möglichkeit, die Windungszahl geometrisch (zeichnerisch) zu bestimmen, bestehtdarin, einen Halbstrahl von z 0 ins Unendliche zu ziehen und die Vorzeichen der Schnittpunktedes Halbstrahls mit C aufzusummieren. Das Vorzeichen ist +1 wenn C im Schnittpunktvom „rechts“ kommt, sonst −1.Wir sagen, dass z 0 ∈ C\C von der geschlossenen Kurve C nicht umlaufen wird, wenn n(C,z 0 ) =0 ist.37