Vorlesungsskript

wobei x(u,v) = au + cbv, y(v) = bv und J = ab. Die Abbildung Φ : (u,v) → (x,y) ist linear mitDeterminante J ≠ 0. Das Parallelogramm P ist das Bild des Quadrates Q unter der AbbildungΦ. Mit dem in der Bemerkung 1.5 genannten Satz von Fubini kann die obige Rechnung auch sozusammenfassen:∫P∫ ∫f (x,y) d(x,y) =∫ ∫f (x,y) dx dy = f (au + cbv)ab du dvP y Q v∫= ( f ◦ Φ)(u,v)J d(u,v),QDabei dürfen Q und P beliebige Integrationsbereiche mit P = Φ(Q) sein, nicht nur Quadrateund Parallelogramme. Die hier gezeigte Transformationsformel gilt für beliebige nichtsingulärelineare Abbildungen Φ : R 2 → R 2 , wenn J durch den Betrag der Determinante ersetzt wird.Wir kommen nun zur allgemeinen Situation einer Integralsubstitution mit einer einer C 1 -AbbildungΦ : Q → P,[ [ u x↦→ =v]y][ ] x(u,v),y(u,v)welche Q bijektiv auf P abbildet und eine C 1 -Inverse hat. Dann ist die Jacobideterminante nirgendsNull: J = detDΦ ≠ 0. Man nennt solch eine Abbildung Φ einen C 1 -Diffeomorphismusvon Q auf P. Ein wichtiges Beispiel ist die Abbildung Φ von Polarkoordinaten (u,v) = (r,ϕ) aufkartesische Koordinaten (x,y).1.8 Satz (Variablensubstitution in Doppelintegralen). Für eine über P integrierbare Funktionf : P → R gilt ∫∫f (x,y) d(x,y) = f (x(u,v),y(u,v))|J(u,v)| d(u,v). (7)PQMan beweist (7) mittels Zerlegung von Q in kleine Teilbereiche, auf denen Φ durch lineareApproximationen angenähert wird. Der Betrag tritt auf, weil Flächeninhalte nicht negativ sind.1.9 Bemerkung. Die Substitutionsregel ∫ ba f (s(x))s′ (x) dx = ∫ s(b)s(a)f (s) ds für Integrale in einerVariablen wird durch (7) auf Integrale von zwei Variablen verallgemeinert.1.10 Beispiele. Die Formel der Variablensubstitution wird hier illustriert.(i) Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius R > 0 wird mit Hilfe von Polarkoordinaten (5)wie folgt berechnet:∫∫√x 2 +y 2 ≤R1 dx dy =Hier wurde J(r,ϕ) = r benutzt.(ii) Die achsenparallele Ellipse∫ R ∫ π0−π∫ Rr dϕ dr = 2πr dr = πR 2 .0E = {(x,y) ; (x/a) 2 + (y/b) 2 ≤ 1}ist das Bild der Einheitskreisscheibe K = {(u,v) ; u 2 + v 2 ≤ 1} unter der linearen Abbildung,die durch die Diagonalmatrix diag(a,b) dargestellt wird. Folglich:∫∫∫∫A(E) =1 dx dy = ab du dv = πab(x/a) 2 +(y/b) 2 ≤1u 2 +v 2 ≤19