Vorlesungsskript

3.4 Komplexe Integration und Cauchy’scher IntegralsatzSei f : G ⊆ C → C stetig. Sei C : [a,b] → G, t ↦→ z(t) = x(t) + jy(t) eine (parametrisierte) C 1 -Kurve in G. Das komplexe Integral von f längs C ist wie folgt definiert:∫C∫ bf (z) dz := f (z(t))ż(t) dt.aHier ist ż(t) = ẋ(t) + jẏ(t) die Ableitung nach dem Parameter t. Der Wert des Integrals ist einekomplexe Zahl.3.7 Beispiel. Durch z(t) = e jt mit 0 ≤ t ≤ 2π wird die Einheitskreislinie C parametrisiert. Wirbetrachten ∫ C f (z) dz für f (z) = zn , n ganzzahlig. Dies Integral berechnen wir wie folgt:∫C∫ 2πz n dz = (e jt ) n d dt e jt dt=0∫ 2π0∫ 2πe jnt je jt dt = ( j cos(n + 1)t − sin(n + 1)t) dt.0Im Fall n ≠ −1 ist dies Integral Null, im Fall n = −1 ist ∫ C z−1 dz = 2π j.Integrale von Vektorfeldern längs Kurven in der Ebene R 2 (und allgemeiner im dimensionaleneuklidischen Raum R n ) wurden bereits eingeführt. Das komplexe Integral kann hieraufzurückgeführt werden. Mit üblichen Konventionen für die Zerlegung in Real- und Imaginärteileschreibt manf (z) = u(x,y) + jv(x,y), z = x + jy.Dann istund folglich∫Cf (z) dz =f (z)ż = (u + jv)(ẋ + jẏ) = (uẋ − vẏ) + j(uẏ + vẋ),∫ ba[ ] [ẋ(t) ]u(x(t),y(t))· dt + j−v(x(t),y(t)) ẏ(t)CC∫ bCa[ ] [ẋ(t) ]v(x(t),y(t))· dt.u(x(t),y(t)) ẏ(t)Kürzer und prägnanter schreiben wir dies als∫∫∫f (z) dz = (u dx − v dy) + j (v dx + u dy). (26)Die Formel (26) gilt allgemeiner für stückweise zusammengesetzte Kurven, nicht nur für parametrisierteglatte Kurven. Stückweises Zusammensetzen und Orientierungsumkehr führt auf dieFormeln∫∫∫f (z) dz =C 1 +...+C Nf (z) dz + ... +C 1f (z) dz,C N∫−C∫f (z) dz = − f (z) dz.CUm zu betonen, dass über eine geschlossene Kurve C integriert wird schreibt man oft ∮ C f (z) dzstatt ∫ C f (z) dz.Das nächste Resultat entspricht dem Satz, dass Kurvenintegrale von Gradientenfeldern wegunabgängigsind.35