Vorlesungsskript

Möchte man von S zur entgegengesetzt orientierten Fläche −S übergehen, dann genügt es dieParameter u und v zu vertauschen, dennn S = ∂ u r × ∂ v r = −∂ v r × ∂ u r = −n −S .Die Jacobideterminante J eines orientierungsumkehrenden Parameterwechsels ist negativ. Flächenintegralezweiter Art (14) hängen, anders als Flächenintegrale erster Art, von der Orientierungab:∫∫F · dA = − F · dA.−SSWie im Falle von Kurven können Flächen meist nicht in einem Stück parametrisiert werden.Sie werden dann als Vereinigung (Summe) von parametriserten (Teil-)Flächen dargestellt: S =S 1 + ··· + S N . Das Integral über S ist dann wie folgt gegeben:∫F · dA =S∫F · dA + ··· +S 1∫F · dA.S N2.7 Beispiel. Die Oberfäche S des VollzylindersZ = {(x,y,z) ; x 2 + y 2 ≤ R 2 , 0 ≤ z ≤ h}lässt sich in Deckel, Boden und Mantel zerlegen:S = D + B + M,D : r(x,y) = [x,y,h] T , x 2 + y 2 ≤ R 2 ,−B : r(x,y) = [x,y,0] T , x 2 + y 2 ≤ R 2 ,M : r(ϕ,z) = [Rcosϕ,Rsinϕ,z] T , −π < ϕ ≤ π, 0 ≤ z ≤ h.Hier ist S durch die aus dem Zylinder zeigende Normale orientiert. Die Normalenfelder sindn D = −n B = [0,0,1] T und n M = [Rcosϕ,Rsinϕ,0] T . Wir berechnen I = ∫ S F · dA für das VektorfeldF(x,y,z) = [x + y,0,z] T :∫I ==∫∫D+∫F · dA +B∫F · dA +x 2 +y 2 ≤R 2 1 · h dx dy −∫ h ∫ π0−π2.2 Der Gauß’sche Integralsatz∫∫MF · dAx 2 +y 2 ≤R 2 (−1) · 0 dx dy(Rcosϕ + Rsinϕ) · Rcosϕ dϕ dz∫ π= hπR 2 + hR 2 cos 2 ϕ dϕ = 2hπR 2−πDieser Satz besagt die Gleichheit des Volumenintegrals einer Ableitung – genauer: der Divergenzeines Vektorfeldes – mit einem Integral über die Oberfläche des Volumens. Die Divergenz21