Vorlesungsskript

3.2 Komplex differenzierbare FunktionenEine Funktion f : G → C auf einer offenen Teilmenge G ⊆ C heißt komplex differenzierbar beiz 0 ∈ G, wenn der Grenzwertf ′ (z 0 ) = dfdz (z 0) := limz→z0f (z) − f (z 0 )z − z 0(23)existiert. Man nennt die komplexe Zahl f ′ (z 0 ) die komplexe Ableitung von f bei z 0 . Ist f injedem Punkt von G komplex differenzierbar, dann heißt f holomorph in G, Die komplexe Ableitungvon f ist dann eine Funktion f ′ : G → C. Holomorphe Funktionen sind immer stetig.3.1 Beispiel. Die komplexe Konjugation C → C, z → ¯z ist nicht komplex differenzierbar in 0.Wenn doch, dann würde der Grenzwertγ := limz→0¯z − ¯0z − 0 = limz→0 ¯z/zexistieren. Insbesondere könnte man z sowohl auf die reelle Achse als auch auf die imaginäreAchse einschränken und erhielte denselben Grenzwert:γ = lim t/t = 1, γR∋t→0= lim jt/ jt = −1.R∋t→0Dies ist ein Widerspruch. Also ist z ↦→ ¯z im Nullpunkt (tatsächlich: überall) nicht komplex differenzierbar.Für die komplexe Ableitung gelten die vom Reellen geläufigen Rechenregeln:(α f + βg) ′ (z) = α f ′ (z) + βg ′ (z),( f g) ′ (z) = f ′ (z)g(z) + f (z)g ′ (z), (1/g) ′ (z) = −g ′ (z)/g(z) 2 ,( f ◦ g) ′ (z) = f ′ (g(z))g ′ (z).Da z ↦→ z holomorph ist, folgt aus den Rechenregeln auch die Holomorphie von Polynomen undvon rationalen Funktionen. Die Holomorphie der Exponentialfunktion und der anderen im vorigenAbschnitt besprochenen Funktionen leiten wir nachfolgend aus den Cauchy–Riemann’schenDifferentialgleichungen her. Für ihre Ableitungen (nach z) gelten auch im Komplexen die bekanntenFormeln:(z n ) ′ = nz n−1 , exp ′ (z) = exp(z), sin ′ (z) = cos(z), cos ′ (z) = −sin(z),ln ′ (z) = 1/z, (z a ) ′ = az a−1 , (b z ) ′ = (lnb)b z .Sieht man von der Multiplikation komplexer Zahlen ab, dann kann man C mit R 2 identifizieren.Wenn man f als Funktion[ [ ]f : G ⊆ R 2 → R 2 x Re f (x + jy), ↦→y]Im f (x + jy)ansieht, dann stellt sich die Frage, wie komplexe Differenzierbarkeit mit partieller Differenzierbarkeitzusammenhängt.31