Vorlesungsskript

eines Vektorfeldes wurde bereits als skalare Funktion eingeführt. Für ein 3-dimensionales VektorfeldF istBeispielsweise istdivF = ∇ · F = ∂F x∂x + ∂F y∂y + ∂F z∂z .⎡sin(x 2 ⎤y)div ⎣ xyz ⎦ = 2xycos(x 2 y) + xz + 3z 2 .x + y 2 + z 3Wir betrachten beschränkte Bereiche B ⊂ R 3 , deren Rand S = ∂B (=Oberfläche) eine stückweiseC 1 -glatte Fläche ist. Man nennt solche Bereiche auch Gauß–Green-Bereiche. Mit Ausnahmevon Kanten ist dann überall auf S das äußere Normalenfeld ν definiert, welches in dasÄußere von B weist. Dieses Normalenfeld legt die Orientierung von S fest.2.8 Satz (Gauß’scher Integralsatz oder Divergenzsatz). Sei B ein Gauß–Green-Bereich mit RandS, welcher durch das äußere Einheitsnormalenfeld orientiert ist. Sei F ein C 1 -Vektorfeld auf G.Dann gilt∫∫divF dV = F · dA. (15)BSDieser Satz wird auch als Divergenzsatz bezeichnet. Er behauptet die Gleichheit eines 3-dimensionalen Integrals mit einem 2-dimensionalen Integral.2.9 Beispiel. Wir bestätigen die Formel (15) für⎡ ⎤x + yF(x,y,z) = ⎣ 0z⎦, B = {(x,y,z) ; x 2 + y 2 ≤ R 2 , 0 ≤ z ≤ h}.B ist der im Beispiel 2.7 betrachtete Vollzylinder Z. Dort wurde bereits das OberflächenintegralI bestimmt. Dies stimmt in der Tat mit dem Volumenintegral der Divergenz überein:∫∫divF dV = 2 dV = 2hπR 2 .BBDer Gauß’sche Integralsatz ist eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- undIntegralrechnung, welcher den Zusammenhang zwischen einem bestimmten Integral und einerStammfunktion des Integranden aufzeigt:∫ baf ′ (x) dx = f (b) − f (a).In diesem Spezialfall ist B = [a,b]. Der Rand ist 0-dimensional und besteht aus den Punktena und b versehen mit Orientierungen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung istandererseits auch ein wesentliches Hilfsmittel im Beweis des Gauß’schen Integralsatzes. Weiterunten skizzieren wir einen Beweis in einer speziellen Situation.Der Gauß’sche Integralsatz hat viele Anwendungen in der Kontinuumsmechanik. Wir skizzierenzwei Beispiele, das allgemeine archimedische Prinzip des Auftriebs und die Kontinuitätsgleichung.22