Vorlesungsskript

Die Formel (8) und der Satz 1.19 leitet man aus dem Satz 1.23 von der dominierten Konvergenzher.1.24 Beispiele. Wir illustrieren die Konvergenzsätze durch Beispiele und Anwendungen.(i) ∫ R 2 e−x2 −y 2 d(x,y) = π folgt mit monotoner Konvergenz. Setze dazu{e −x2 −y 2 , (x 2 + y 2 ≤ k 2 ),f k (x.y) =0, (x 2 + y 2 > k 2 ).Dann ist f k ≤ f k+1 und∫ ∫f k dA = e −x2 −y 2 d(x,y) = 2πR 2 x 2 +y 2 ≤k 2∫ k0e −r2 r dr = π(1 − e −k2 ) → πfür k → ∞.(ii) Das Newton’sche Potential N(x,y,z) = r −1 , r = √ x 2 + y 2 + z 2 , ist über die Einheitskugel Bintegrierbar. Wir wollen dies aus dem Satz 1.22 folgern. Dazu setze N k (x,y,z) = r −1 wennr > 1/k und Null sonst. Offenbar gilt N k ≤ N k+1 . Unter Verwendung von Kugelkoordinatenhaben wirFolglich ist∫B∫ 1N k dV =∫r≤1= 4π∫ π/2 ∫ π1/k −π/2∫ 11/k−π1r r2 cosθ dϕ dθ drr dr = 2π(1 − 1/k 2 ).1dV = limr 2π(1 − k→∞ 1/k2 ) = 2π.Obwohl das Newton’sche Potential bei r = 0 singulär ist, ist es integrierbar.(iii) Die Formel (9) folgt sofort aus dem Satz von der dominierten Konvergenz, wenn B einebeschränkte Menge und f eine beschränkte Funktion ist, | f (x,y,z,t)| ≤ M. Als Majoranteg wählt man die konstante Funktion mit Wert M.(iv) ∫ ∞−∞ (1 + x2 ) −1 dx = π(v) ∫ ∞0 x−1 dx existiert nicht, denn anderenfalls wäre nach dem Satz von der dominierten Konvergenzdie Folge der Integrale∫ k1/kx −1 dx = 2lnkfür k → ∞ beschränkt, was aber offenbar nicht der Fall ist.(vi) Die Funktionen f k : R → R,{k, (|x| < k/2)f k (x) =0, (|x| ≥ k/2).haben alle Integral 1. Die Konvergenzsätze sind hier nicht anwendbar.15