O+P Fluidtechnik 4/2017

VERBINDUNGSELEMENTE
1. EINLEITUNG
Bei der Auslegung von transient durchströmten Rohrleitungen
kommt dem Druckstoß häufig die Rolle des dimensionierenden
Lastfalls zu. Ein Druckstoß stellt sich beispielsweise dann ein, wenn
ein durch eine Rohrleitung strömender Volumenstrom Q infolge
eines abrupten Ventilschließvorgangs eine rasche Änderung um
∆Q erfährt. Die Änderung des Impulses der Fluidsäule wird dabei
in einen Druckanstieg ∆p umgesetzt. Gemäß der vereinfachten
Theorie von Joukowski lässt sich der Druckanstieg aus der folgenden
Beziehung ermitteln, wobei a die effektive Schallgeschwindigkeit
im Fluid bezeichnet [1]:
ρa
∆ p = ∆Q
A
Die bei einem Druckstoß zu beobachtende Druckerhöhung hängt
also wesentlich von der effektiven Schallgeschwindigkeit a ab.
Neben der Höhe von Druckstößen beeinflusst die effektive Schallgeschwindigkeit
ebenfalls die Frequenzlage von Leitungsresonanzen.
Da ein Zusammentreffen der erregenden Frequenzen
(z. B. Pulsationsfrequenz einer Kolbenpumpe) und Resonanzfrequenzen
der Rohrleitung durch konstruktive Maßnahmen
möglichst vermieden werden sollte, wird die effektive Schallgeschwindigkeit
teilweise bereits im Entwurfsstadium einer Anlage
benötigt. Eine rationelle Dimensionierung von dynamisch belasteten
Rohrleitungen setzt daher eine möglichst genaue Kenntnis
dieser Größe voraus.
Wird das Fluid in einer unendlich steifen Leitung geführt, so entspricht
die effektive Schallgeschwindigkeit a der isentropen Schallgeschwindigkeit
a s
des reinen Fluids. Für Leitungen mit endlicher
Steifigkeit ist a teilweise erheblich gegenüber a s
reduziert.
In der Literatur werden zahlreiche Verfahren zur rechnerischen
Ermittlung der effektiven Schallgeschwindigkeit aus Fluideigenschaften
und Konstruktionsdaten der Leitung angegeben [2] [3] [4].
Die mitgeteilten Ansätze basieren in der Regel auf vereinfachenden
Annahmen bezüglich der Spannungsverteilung innerhalb der
Rohrwand. Darüber hinaus wird der Beitrag der Längenänderung
der Leitung zur Änderung des von der Leitung umschlossenen Volumens
von vielen Autoren vernachlässigt.
In der vorliegenden Arbeit wird von diesen Vereinfachungen Abstand
genommen; stattdessen erfolgt eine ausführliche Herleitung
der exakten Beziehungen zur Ermittlung der effektiven Schallgeschwindigkeit,
die um Betrachtungen zur praktischen Anwendung
der Gleichungen ergänzt wird. Zunächst werden die wesentlichen
physikalischen Grundlagen behandelt.
2. GRUNDLAGEN
Die theoretische Ermittlung der effektiven Schallgeschwindigkeit
beruht auf der Analyse bestimmter Terme der Kontinuitätsgleichung.
Bevor diese Untersuchung durchgeführt wird, werden
einige vereinfachende Annahmen eingeführt:
n Der durchströmte Querschnitt A der Leitung ist kreisförmig und
stets vollständig vom Fluid ausgefüllt.
n Die Strömung ist rotationssymmetrisch um die Rohrlängsachse
(z-Richtung). Dementsprechend sind die Umfangskomponente
u ϕ
der Strömungsgeschwindigkeit sowie alle Derivativa der Strömungsgrößen
in Umfangsrichtung ∂/∂ϕ gleich Null.
n Die Betrachtungen werden auf den Frequenzbereich beschränkt,
in dem keine radialen Moden des Fluids oder der Rohrwand erregt
werden, weswegen das Strömungsfeld mit den Methoden der
eindimensionalen Wellentheorie vollständig beschrieben werden
kann. Entsprechend wird der radiale Druckgradient für alle Zeiten
und Strömungsformen gleich Null angenommen.
n Die mechanischen Eigenschaften des Leitungswerkstoffs sind
isotrop.
(1)
Im Folgenden werden die wichtigsten Grundgleichungen zur rechnerischen
Ermittlung der effektiven Schallgeschwindigkeit vorgestellt.
2.1. KONTINUITÄTSGLEICHUNG
Unter Berücksichtigung der eingeführten Annahmen reduziert sich
die Kontinuitätsgleichung für eine eindimensionale, kompressible
Rohrströmung auf folgenden Ausdruck:
1dρ
1 ∂Q 1 dA 1dl
+ + + = 0 (2)
ρ dt A ∂z A dt l dt
Für die fluidtechnische Praxis ist die totale Dichteänderung dρ/dt
eine wenig anschauliche Größe. Diese wird daher im nächsten Abschnitt
unter Verwendung der Definitionsgleichung der isentropen
Schallgeschwindigkeit durch die Druckänderung dρ/dt ausgedrückt.
Im übernächsten Abschnitt wird gezeigt, wie die Änderung
des durchströmten Querschnitts ebenfalls in Abhängigkeit der
Druckänderung formuliert werden kann.
2.2. ISENTROPE SCHALLGESCHWINDIGKEIT
Die Schallgeschwindigkeit ist ein Maß für die Geschwindigkeit, mit
der sich Druckstörungen in einem Medium ausbreiten. Sieht man
von viskosen Einflüssen ab, so geschieht die Ausbreitung von
Druckstörungen praktisch verlustfrei, d. h. isentrop. Die entsprechende
isentrope Schallgeschwindigkeit a s
ist durch die folgende,
erstmals von Laplace angegebene Beziehung definiert [5]:
⎛ ∂p
⎞
a
2 s
: = ⎜ ⎟
(3)
⎝∂ρ
⎠
s
Erfolgt die Dichteänderung näherungsweise isentrop (ds ≈ 0), so
lässt sich die zeitliche Dichteänderung durch die Druckänderungsrate
ausdrücken:
dp ⎛ ∂p ⎞
dρ
1 dp
lim = = a ⇔ lim =
(4)
t a t
2
⎜ ⎟ s
ds→0 d 0
2
dρ
ρ
s→
⎝∂
⎠
d
s
d
s
Weiterhin kann gezeigt werden, dass das Produkt der Fluiddichte
und des Quadrats der isentropen Schallgeschwindigkeit dem
isentropen Kompressionsmodul K s
des Fluids gleich ist. Damit lässt
sich schreiben:
1dρ
1 dp
1 dp
= =
ρ t ρa t K t
2
d
s
d
s
d
Der Kompressionsmodul ist daher ein Maß für den Widerstand,
den ein Fluid einer Dichteänderung (respektive einer Änderung des
spezifischen Volumens) infolge einer allseitig wirkenden Druckänderung
entgegensetzt.
2.3. KINEMATIK DER VERFORMUNGEN
Die relativen Änderungen der Rohrlänge l und des durchströmten
Querschnitts A können durch die axialen und tangentialen Dehnungen
ausgedrückt werden. Für die Änderungsrate der Rohrlänge
gilt folgende Beziehung, wobei ε z
die Dehnung in Richtung der
Rohrachse bezeichnet.
1dl
dε
z
=
l dt dt
Die relative Änderung des durchströmten Querschnitts A kann
durch die Änderung des Innenradius r i
der Rohrleitung ausgedrückt
werden. Die relative Radienänderung wiederum kann mit
der Tangentialdehnung ε ϕ
formuliert werden:
(5)
(6)
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