O+P Fluidtechnik 4/2017

VERBINDUNGSELEMENTE
FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED
∆ a a0 − a =
(35)
a a
Da in der vorliegenden Arbeit drei verschiedene Lagerungsbedingungen
behandelt wurden, ergibt sich eine entsprechende Anzahl
unterschiedliche Fehlermaße. Wie im vorigen Abschnitt gezeigt
wurde, unterscheiden sich die Schallgeschwindigkeiten der verschiedenen
Randbedingungen für μ = 0,3 untereinander nur sehr
wenig, weswegen der Einfachheit halber das arithmetische Mittel
aus allen drei Fehlermaßen angegeben wird. Auch hier hängt das
(mittlere) Fehlermaß neben der relativen Wandstärke vom Steifigkeitsverhältnis
ab. Zur Veranschaulichung dieses Sachverhalts sind
die Fehlermaße daher für verschiedene Steifigkeitsverhältnisse
1 > K s
/E > 0,01 in Bild 03 dargestellt.
Naturgemäß steigt der durch die Näherungsgleichungen eingeführte
Fehler mit größer werdender relativer Wandstärker an. Ist
der Kompressionsmodul der Druckflüssigkeit mit dem Elastizitätsmodul
der Rohrwand vergleichbar (K s
/E ≈ 1), so führt die Annahme
einer vereinfachten Spannungsverteilung bereits bei
dünnwandigen Rohren im Sinne der DIN 2413 zu Fehlern von etwa
8,6 %; für größere Wandstärken ergeben sich entsprechend
deutlich höhere Fehlermaße. Eine Verwendung der Näherungsgleichungen
kann daher nur für Steifigkeitsverhältnisse K s
/E < 0,01
empfohlen werden, wo selbst dickwandige Rohren ein maximales
Fehlermaß von lediglich 1 % erreichen. Ein solches Steifigkeitsverhältnis
tritt beispielsweise bei mit Wasser oder Hydrauliköl gefüllten
Stahlleitungen und druckluftführenden Elastomerleitungen
auf. Würden dieselben Elastomerleitungen jedoch der
Förderung von Flüssigkeiten dienen (Beispiel: PKW-Kraftstoffleitungen
mit K s
/E ≈ 1), so würde die Anwendung der Näherungsgleichungen
wiederum unverhältnismäßig große Fehler in die Berechnung
einführen.
Da in der Praxis durchgeführte Berechnungen der effektiven
Schallgeschwindigkeit ohnehin meist mit Tabellenkalkulationsprogrammen
oder Simulationssoftware durchgeführt werden,
sollte von der Verwendung der Näherungsgleichungen Abstand
genommen und den in dieser Arbeit vorgestellten, exakten Volumenänderungsfunktionen
(bzw. der gemittelten Volumenänderungsfunktion)
Vorzug gegeben werden. Diese sind für sämtliche
linear-elastischen und isotropen Rohrwerkstoffe bei allen Wandstärken
gültig und erübrigen somit die umständliche Überprüfung,
ob die jeweilige Näherung innerhalb ihres Gültigkeitsbereiches
verwendet wird.
4.5. STELLUNGNAHME BEZÜGLICH DER
VERNACHLÄSSIGUNG VON AXIALDEHNUNGEN
Verschiedentlich wird die Ansicht vertreten, dass sich die „Volumenzunahme
durch Dehnung in Längsrichtung des Rohres“ weitgehend
„mit der Abnahme infolge Querkontraktion“ bei dünnwandigen
Rohren aufheben würde [4]. Die generelle Gültigkeit dieser
Aussage wird im Folgenden untersucht.
Gemäß der vertretenen Ansicht soll die axiale (Gesamt-)Dehnung
ε z
näherungsweise gleich Null sein. Nach dem Hookeschen
Gesetzes folgt daraus für die Spannungen (siehe Gleichung 26):
z
( ϕ r) (36)
σ ≈ µ σ + σ
Mit den exakten Spannungen an der Innenseite der Rohrwand ergibt
sich:
µ ≈ 0,5 (37)
Bemerkenswerterweise ist dieses Ergebnis unabhängig vom Radienverhältnis
der Rohrwand, sodass diese Beziehung auch für dickwandige
Rohre gilt. Die Behauptung, dass sich die Volumenzunahme
infolge axialer Dehnung mit der Volumenabnahme infolge
Querkontraktion näherungsweise aufheben würde, ist also bei exakter
Spannungsverteilung nur für näherungsweise als inkompressibel
anzusprechende Werkstoffe erfüllt.
Legt man die Spannungsverteilung für dünnwandige Rohre zugrunde
(σ r
« σ ϕ
), so ergibt sich:
ϲ 1
µ ≈ =
1+ ϲ ⎛ e ⎞
2⎜1+
⎟
⎝ d ⎠
(38)
Für dünnwandige Rohre im Sinne der DIN 2413 ergeben sich nach
dieser Beziehung Querkontraktionszahlen 0,45 < µ < 0,5, wie sie
bei weichen, hochelastischen Kunststoffen vorzufinden sind [10].
Für Rohre aus den häufig verwendeten metallischen Konstruktionswerkstoffen
Stahl, Aluminium und Titan (μ ≈ 0,3) ist die Behauptung
offenbar nicht zutreffend. Von der Verwendung dieser
Vereinfachung und den daraus abgeleiteten Näherungsgleichungen
zur Berechnung der effektiven Schallgeschwindigkeit wird
abgeraten.
5. ZUSAMMENFASSUNG
Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit lassen sich folgendermaßen
zusammenfassen:
1. Die effektive Schallgeschwindigkeit für Leitungen aus linear-elastischen
Werkstoffen kann gemäß der folgenden Beziehung berechnet
werden:
as
a =
Ks
1+
E ψ
Gleichungen zur Ermittlung der Volumenänderungsfunktion ψ,
die die Lagerungsbedingungen der Leitung berücksichtigt, finden
sich in den Abschnitten 4.1 und 4.2 der Arbeit.
2. Das Verhältnis von Fluid-Schallgeschwindigkeit a s
zu effektiver
Schallgeschwindigkeit a wird im Wesentlichen vom Verhältnis
von Fluid-Kompressionsmodul K s
zu Wand-Elastizitätsmodul E
bestimmt.
3. Bei inkompressiblen Werkstoffen (μ ≈ 0,5) ist die effektive Schallgeschwindigkeit
von den Lagerungsbedingungen der Leitung
unabhängig. Für die Volumenänderungsfunktion ψ ergibt sich
der folgende Ausdruck:
3
ψ µ = =
1 − ϲ
( 0,5) 2
4. Bei Werkstoffen mit μ < 0,5 hängt die Schallgeschwindigkeit von
den Lagerungsbedingungen der Leitung ab. Für μ = 0,3 ergibt sich
ein höchster Fehler von ca. 6 % bei Auswahl einer für die jeweils
vorliegenden Randbedingungen ungeeigneten Volumenänderungsfunktion.
5. Sind die Randbedingungen unklar oder besteht das Bedürfnis,
alle Lagerungsfälle unter Inkaufnahme von Fehlern mit nur einer
Gleichung abzudecken, so kann eine gemittelte Volumenänderungsfunktion
ψ verwendet werden:
2 ⎛1
⎞
21 ( + µ ) + 5ϲ
⎜ − µ ⎟
2
ψ =
⎝ ⎠
2
1−
ϲ
Dadurch sinkt die größte Abweichung ∆a/a für μ = 0,3 auf
ca. 3 %.
6. Die mit den exakten Spannungsverteilungen hergeleiteten Volumenänderungsfunktionen
ermöglichen eine genauere Berechnung
der effektiven Schallgeschwindigkeit, als es mit den in der
Literatur häufig anzutreffenden Näherungsformeln für dünnwandige
Rohre möglich ist. Der Genauigkeitszuwachs gegenüber
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