O+P Fluidtechnik 4/2017

VERBINDUNGSELEMENTE
gung von Randeffekten als über der Wandstärke konstant angesetzt Viele Autoren vernachlässigen den Beitrag der radialen Spannung
werden (Prinzip von de Saint-Venant [7]).
zur tangentialen Dehnung. Diese Vereinfachung ist nicht grundsätzlich
zulässig, sondern hängt wesentlich von der relativen Wand-
Die radiale Verteilung der Tangentialspannung σ ϕ
ist durch folgenden
Ausdruck gegeben, wobei die Radialkoordinate r vom stärke der Rohrwand e/d ab. Das Verhältnis von Tangential- und
Innenradius r i
bis zum Außenradius r a
der Rohrwand läuft [8]: Radialspannungen – gemäß der exakten Spannungsverteilung – ist
in Tabelle 01 dargestellt:
2
2
ϲ ⎡ ⎛r σ p 1 a ⎞ ⎤
ϕ
=∆ +
(18)
2 ⎢ ⎥
1− ϲ
⎜
r
⎟
⎣⎢
⎝ ⎠ ⎦⎥
e/d 0,1 0,05 0,01 0,001
In der oben stehenden Gleichung bezeichnet ϱ das dimensionslose |σ ϕ
/σ r
| 5,5 10,5 50,5 500,5
Radienverhältnis:
Tabelle 01 Verhältnis von Tangential- und Radialspannungen
ri
ri
ϲ = = (19)
ra
ri
+ e
Offenkundig sind für dünnwandige Rohre im Sinn der DIN 2413 die
Radialspannungen gegenüber den Tangentialspannungen vernachlässigbar
klein, weswegen die Vereinfachung zumindest für
Für die Verteilung der radialen Spannung gilt:
sehr dünnwandige Rohre gerechtfertigt erscheint.
2
2
ϲ ⎡ ⎛r
⎤
a ⎞
Die im Folgenden hergeleiteten Volumenänderungsfunktionen
σ
r
=∆p
1 −
(20)
2 ⎢ ⎥
1− ϲ
⎜
r
⎟
⎢⎣
⎝ ⎠
werden sowohl für die exakte Spannungsverteilung (ψ) als auch für
⎥⎦
die „dünnwandige Näherung“ (ψ 0
) angegeben. Da die Näherungen
Die axiale Spannung σ z
hängt von den Lagerungsbedingungen des an die Volumenänderungsfunktion auf anderen Annahmen bezüglich
der Spannungsverteilung in der Rohrwand beruhen und meist
Rohres ab, weswegen an dieser Stelle keine allgemeingültige Angabe
gemacht werden kann. Die jeweilige axiale Einheitsspannung nicht aus einer Grenzwertbetrachtung der exakten Volumenänderungsfunktion
für ϱ → 1 gewonnen wurden, gilt im Allgemeinen:
wird bei der Diskussion der verschiedenen Volumenänderungsfunktionen
in Abschnitt 4 angegeben.
Da die radialen und tangentialen Spannungen über der Wandstärke
veränderlich sind, müssen die entsprechenden Dehnungen ε
lim ψ ≠ψ0
(25)
ϲ →1
auch Funktionen der Radialkoordinate r sein. Da allerdings nur die 4. VOLUMENÄNDERUNGSFUNKTIONEN
Dehnungen an der Innenseite der Rohrwand (r = r i
) zur Änderung
des vom Fluid ausgefüllten Volumens beitragen, sind nur die Spannungen
an dieser Stelle für die vorliegende Problemstellung von Beon
für sehr häufig vorkommende Lagerungsbedingungen angege-
In den folgenden Abschnitten werden Volumenänderungsfunktideutung.
Zusätzlich zum exakten Spannungszustand an der Rohrinnenseite
werden die aus der Festigkeitslehre bekannten Näherungen lichkeit, die Volumenänderungsfunktion auch für Randbedinben.
Die ausführliche Herleitung gibt dem Anwender die Mög-
für dünnwandige Rohre (sogenannte Kesselformeln) angegeben. gungen zu ermitteln, die nicht in dieser Arbeit behandelt werden.
Zunächst wird der Fall einer an axialer Ausdehnung behinderten
3.2 EXAKTE SPANNUNGEN AN DER
Leitung behandelt.
ROHRINNENSEITE
4.1. VOLUMENÄNDERUNGSFUNKTION FÜR
An der mit dem Fluid in Kontakt stehenden inneren Seite der Rohrwand
gilt für die tangentiale Einheitsspannung gemäß Gleichung 18:
BEHINDERTE AXIALDEHNUNG
Bei behinderter axialer Ausdehnung der Leitung ist die Änderung
2
dσ ϕ 1+
ϲ
= (21) der elastischen Dehnung ε' z
mit dem Druck p gleich Null. Allerdings
2
dp
1
r = r − ϲ
i
ist die axiale Spannung, die auch Einfluss auf die tangentiale Dehnung
nimmt, infolge des Poisson-Effekts von Null verschieden.
Die radiale Einheitsspannung beträgt an dieser Stelle nach Gleichung
20:
Nach dem Hookeschen Gesetz ergibt sich für diese:
σ
z
= µ ( σϕ
+ σr) (26)
dσ
r
=−1 (22)
dp
r = r
Die Volumenänderung ist im vorliegenden Fall nur auf den Beitrag
i
der Tangentialdehnung zurückzuführen. Die Volumenänderungsfunktion
vereinfacht sich damit zu folgendem Ausdruck:
3.3 SPANNUNGEN IN EINEM DÜNNWANDIGEN
ROHR
'
dεϕ
⎡dσϕ
2 dσ
r
⎤
ψ = 2E = 2
Neben der exakten Spannungsverteilung wird im Folgenden die in
( 1 ) ( 1 )
(27)
d p
⎢ −µ − µ + µ
d p d p
⎥
⎣
⎦
der Literatur häufig anzutreffende Näherung für dünnwandige
Rohre angegeben. Nach DIN 2413 wird ein Rohr dann als dünnwandig
bezeichnet, wenn das Verhältnis von Wandstärke e zu In-
Spannungsverteilungen ist in Tabelle 02 dargestellt.
Die Auswertung dieser Gleichung anhand der beiden vorgestellten
nendurchmesser d den folgenden Grenzwert unterschreitet:
e
0,1 (23)
d ≤
Modell
εz
= 0, σz
≠0
Quelle
Exakt 1+ µ ⎡ 2 ⎛1
⎞⎤
[2] [9]
2 1 2
2
Bei einem dünnwandigen Rohr kann die Tangentialspannung als über
1
⎢ + ϲ ⎜ −µ
⎟
− ϲ 2
⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦
der Wandstärke konstant angenommen werden. Nach den „Kesselformeln“
ergibt sich damit für die tangentiale Einheitsspannung dσ ϕ
Dünnwandig 2ϲ
d [2]
/dp:
( 1− µ 2 ) = ( 1−
µ
2
)
1−
ϲ e
dσ ϕ r = i
dp
e
(24)
Tabelle 02 Volumenänderungsfunktionen ψ für Rohre
mit behinderter Axialdehnung
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